Legea inductiei electromagnetice

Legea inductiei electromagnetice

in urma experimentelor, se constata urmatoarea proprietate: Tensiunea electrica pe o curba G este egala cu viteza de scadere a fluxului magnetic pe orice suprafata S_G cu bordura G, sensul pozitiv al fluxului magnetic prin S_G, fiind dat de regula burghiului fata de sensul de parcurgere al curbei G (Fig. 2.9):

(2.17)

Utilizand relatiile de definire a tensiunii electrice (1.17) si a fluxului magnetic (2.13), relatia (2.17) se mai scrie:

(2.17^')

Observatii

a)    Curbele, suprafetele, corpurile sunt formate din puncte materiale si deplasarile tuturor varietatilor sunt definite de deplasarile punctelor materiale din care ele sunt formate, in teoria macroscopica Maxwell-Hertz a campului electromagnetic, marimile sunt definite in sisteme de referinta atasate punctelor, care pot fi in miscare. Spunem ca sunt utilizate sisteme de referinta locale pentru definirea marimilor. De exemplu, in punctul P de pe curba G, intensitatea campului electric se masoara cu un corp de proba ce se misca o data cu punctul P. De aici, rezulta ca modul de introducere a marimilor primitive din vid, E_v (v. Cap.1. par.1.1) si B_v (v. Cap.2. par.2.1) nu este riguros, in teoria Maxwell-Hertz este necesara substanta pentru a putea defini sistemele de referinta locale, deci nu putem avea vid. De fapt, vidul este o stare limita de rarefiere a substantei. Marimea intensitatea campului electric in vid ar trebui definita ca o limita de marimi E_v, definite cu ajutorul fortei de natura electrica (v. Cap.1.par. 1.1) si corespunzand unor rarefieri cat mai mari, caracterizate, de exemplu, de presiunile p_n →0.

  

Fig. 2.9. Pentru legea inductiei electromagnetice  Fig. 2.10. Spira dreptunghiulara

invartindu-se in camp magnetic uniform

b)   Daca miscarea curbei G este impusa de deplasarea punctelor materiale din care ea este formata, deplasarea suprafetei S_G poate fi "eliberata" de aceasta restrictie, asa cum rezulta din consecinta ii) a legii fluxului magnetic. Evident, suprafata S_G trebuie sa fie marginita de curba G

c)    Fluxul magnetic poate sa varieze in timp atat datorita faptului ca inductia magnetica B variaza in timp, cat si datorita faptului ca suprafata S_G se modifica.

Exemple:

i) Intr-un camp magnetic uniform, se roteste o spira dreptunghiulara, avand axa de rotatie perpendiculara pe liniile de camp (Fig. 2.10). Sa se determine tensiunea electrica indusa in spira.

Rezolvare. Se alege un sens pentru calculul tensiunii electrice in spira (o orientare a curbei G), de exemplu, cel din Fig. 2.10. Alegem ca suprafata cu bordura G chiar suprafata plana marginita de G. Sensul pozitiv al fluxului prin S_G, este dat de regula burghiului in raport cu sensul de parcurgere a curbei G. Deci, normala la S_G, este orientata in jos. Fluxul magnetic prin S_G este:

unde A este aria dreptunghiului marginit de spira, iar α este unghiul dintre normala n si inductia magnetica B. Deci:

ii) Intr-un camp magnetic uniform de inductie magnetica B, se invarte, cu viteza unghiulara ω, un disc perfect conductor de raza a, axul discului, tot perfect conductor, fiind paralel cu inductia magnetica B (Fig. 2.11). La periferia discului si pe axul de rotatie, aluneca doua perii colectoare care fac legatura cu doua borne A si B (generatorul homopolar). Care este tensiunea electrica u de la borne?

Fig. 2.11. Generatorul homopolar

Rezolvare. Incadram curba tensiunii de la borne intr-o curba inchisa, astfel incat pe restul curbei sa cunoastem tensiunea electrica. Fie G(t)=ABC₀DA aceasta curba la timpul t Deoarece discul, axul si legaturile BC si DA sunt perfect conductoare, intensitatea campului electric este nula in acestea . Deci:

    (2.18)

Alegem ca suprafata cu bordura G(t) suprafata plana marginita de aceasta curba. Tinand cont ca deplasarea curbei G(t) este definita de deplasarea punctelor din care ea este formata, la timpul t+Δt, portiunea C₀ curbei se deplaseaza in C₀^' si curba va deveni G(t+Δt) = ABCC₀^'DA. Putem alege ca suprafata de bordura G(t+Δt) reuniunea dintre suprafata plana cu bordura G(t) si suprafata plana CC₀ definita de sectorul de cerc de unghi Δα parcurs de C₀ in timpul Δt. Variatia de flux magnetic de la timpul t a t+Δt este data de fluxul magnetic de pe sectorul de cerc:

(2.19)

tinand cont ca B si n sunt paraleli si ca aria sectorului de cerc este . Ca urmare, din (2.17), (2.18) si (2.19), rezulta:

(2.20)

Consecinte:

i) Forma locala a legii inductiei electromagnetice pentru medii imobile. Daca mediile sunt imobile, atunci suportul integralei de suprafata din relatia (2.17^') este constant in timp si derivata in raport cu timpul intra sub semnul de integrare:

(2.21)

Aplicand formula lui Stokes in membrul stang al relatiei (2.21), rezulta:

(2.22)

Deoarece suportul de integrare este arbitrar, rezulta ca integrantii sunt egali:

(2.23)

Relatia (2.23) este forma locala a legii inductiei electromagnetice, cunoscuta si sub numele de legea lui Faraday sau a doua lege a lui Maxwell.

ii) Forma locala a legii inductiei electromagnetice pentru medii in miscare. Daca mediul este in miscare, atunci suportul integralei de suprafata din relatia (2.17^') este variabil in timp si derivata in raport cu timpul intra sub semnul de integrare sub forma derivatei substantiale de flux (Anexa A):

(2.24)

unde:

(2.25)

Daca tinem cont de forma locala a legii fluxului magnetic (2.15), avem:

(2.26)

La fel ca la punctul precedent, aplicam formula lui Stokes in membrul stang al relatiei (2.24) si obtinem:

(2.27)

sau

(2.27^')

Observatie. Pentru relatia (2.27^') sunt necesare doua sisteme de referinta: sistemul de referinta local, in care sunt definite marimile campului electromagnetic, si sistemul de referinta al laboratorului, in care este definita viteza. Cei doi termeni din membrul drept al relatiei (2.27^') depind de alegerea celui de-al doilea sistem de referinta, dar suma lor este independenta de aceasta alegere.

iii) Daca, intr-un domeniu, fluxurile magnetice nu variaza in timp, atunci, din legea inductiei electromagnetice, rezulta ca este indeplinita conditia definirii potentialului electric scalar.