Initiere in rezolvarea problemelor de camp electromagnetic prin modelare si rezolvare numerica (qfield)

INITIERE IN REZOLVAREA PROBLEMELOR DE CAMP ELECTROMAGNETIC PRIN MODELARE SI REZOLVARE NUMERICA (QFIELD)

1. PRINCIPIUL DE REZOLVARE

Modelarea presupune utilizarea unui concept care sa reprezinte simplificat, dar cat mai exact, o situatie reala mai complicata. In cazul campului electromagnetic , pe care-l vom studia in acest semestru, abordarea problemei se va face in mod progresiv, pornind de la cazuri particulare de manifestare a campului electromagnetic. O prima abordare pe care o propunem pentru intelegerea principiului de lucru este cea a campului electrostatic.

2.CAMPUL ELECTROSTATIC PRODUS DE SARCINI PUNCTIFORME

In fig.1, 2 si 3 sunt prezentate cateva elemente legate de campul electrostatic produs de sarcini electrice punctiforme. Felul in care o sursa de camp isi face simtita prezenta poate fi reprezentat grafic prin spectrul liniilor de camp. Prin spectrul campului se intelege forma si densitatea liniilor de camp. Liniile de camp electrostatic sunt linii de camp deschise, pornind din sarcinile pozitive si terminandu-se pe sarcinile negative. Cu cat un camp electrostatic este mai intens intr-o anumita zona, cu atat liniile de camp reprezentate in acea zona vor fi mai dese.

In fig.1 este prezentat cazul unei sarcini punctiforme pozitive, Q, aflata in vid. Liniile de camp pleaca (isi au originea) din aceasta sarcina indreptandu-se catre o sarcina negativa aflata la (distribuitǎ uniform pe o sfera avand raza  ). Liniile de camp, pornesc din sarcina punctiformǎ pozitiva, sunt orientate in lungul razelor, fiind linii de camp radiale, uniform distribuite in toate directiile spatiului. In fig.1 este reprezentata si intensitatea campului electric E in doua puncte, M si N, situate la distantele r_M si r_N fata de sarcina punctiforma. Se poate observa ca intensitatea campului este mai mare (camp mai intens) in punctul M, mai apropiat fata de sursa.

OBS. In toate figurile sarcina punctiforma a fost reprezentata ca o sfera (cerc in sectiune), desi sarcina punctiforma reprezinta un concept idealizat (un model) de sarcina electrica concentrata pe o "sfera de dimensiunile unui punct".

In fig.2 liniile de camp intra in sarcina negativa, -Q, provenind de la o sarcina pozitiva Q distribuita uniform pe o sfera cu raza infinita, sensul fiind orientat catre sarcina negativa. Si in acest caz, desi nu a mai fost reprezentat distinct, vectorul intensitate a capului electric E intr-un punct are o valoare(modul) cu atat mai mare cu cat acel punct este mai apropiat de sursa punctiforma de camp, -Q.

Fig.3 arata campul produs de doua sarcini egale, dar de semn opus, aflate in vid. Liniile de camp arata nu numai orientarea campului, dar prin desimea lor sugereaza si intensitatea campului. Pentru ca sarcinile sunt egale in modul, dar de semn opus, planul mediator pe segmentul ce uneste cele doua sarcini punctiforme este un plan de potential egal cu 0.

Calculul teoretic al intensitǎtii campului electrostatic intr-un punct (mǎrime vectorialǎ)   se face utilizand calculul vectorial, asa cum s-a fǎcut in cadrul disciplinei de fizicǎ si cum se va face si la acest curs, precum si la seminarul disciplinei noastre.

3. Exemplu de calcul a campului produs de sarcini punctiforme.

In figura 4 este prezentat cazul a doua sarcini electrice punctiforme, plasate in vid in punctele A si B, sarcini egale in modul si de semn contrar. Se cere calculul intensitatii campului electric intr-un punct M plasat astfel incat triunghiul AMB este un triunghi dreptunghic isoscel, avand unghiul drept in punctul M.

Cand exista mai multe surse de camp (aici doua, Q₁>0 si Q₂ <0), pentru a determina campul rezultant se aplica principiul superpozitiei. Principiul superpozitiei este valabil in sistemele liniare (in sens general, sisteme cu proportionalitate intre cauza si efect) si poate fi enuntat astfel:

Rezultatul (raspuns), intr-un anumit punct si intr-un anumit moment, produs de doua sau mai multe cauze (surse) este suma rezultatelor (raspunsuri) partiale care ar fi produse individual de fiecare din cauze (surse) daca ar actiona separat.

Intensitatea campului electric (aici electrostatic) produs de mai multe surse de camp intr-un mediu liniar fiind o marime vectoriala, rezultatul superpozitiei este rezultatul unei sume vectoriale.

, aici (1)

Expresia vectoriala, intr-un punct P, pentru vectorul E, intensitate a campului electric in vid, camp produs de o sarcina punctiforma este data de (2). Aceasta expresie este asociata figurii 5 si ea este valabila indiferent de semnul sarcinii punctiforme.   (2)

In relatiile (2) q este sarcina electrica punctiforma (care poate fi pozitiva sau negativa) , este versorul (vectorul de valoare unitara) in directie radiala, este vectorul de pozitie, indicand pozitia punctului P, in care este precizata expresia intensitatii campului, fata de sursa punctiforma de camp, punctul O. Prin r s-a notat modulul (marimea, valoarea numerica) vectorului . Vectorul are modulul egal cu marimea segmentului OP ce leaga cele doua puncte, directia este directia OP, iar sensul este dinspre originea vectorului, punctul O, catre varful sau, punctul P. 

Modulul vectorului E, intensitate a campului , camp electrostatic produs de o sarcina punctiforma q intr-un punct oarecare P, situat in vid la distanta x de aceasta sarcina, are expresia:

in care ·9·10⁹) F/m (3)

ATENTIE!! Este vorba de campul produs in vid de o sarcina electrica punctiforma.   

Modulul unui vector este o marime eminamente (strict) pozitiva si de aceea in expresia de calcul s-a utilizat modulul valorii sarcinii electrostatice, sarcina care poare fi pozitiva sau negativa.

Pentru cazul reprezentat in figura 4 sensurile vectorilor E_1M si E_2M sunt in conformitate cu semnul sarcinilor care le produc:

- E_1M este intensitatea campului electric, cu directie radiala, camp produs de sarcina punctiforma Q₁ in punctul M si, sarcina fiind pozitiva (Q₁ > 0), sensul vectorului este conform celor aratate in figura 1, cu orientare de la punct catre ∞ (indepartandu-se de sarcina)

- E_2M este intensitatea campului electric produs de sarcina Q₂ , in acelasi punct M, si sarcina fiind negativa (Q₂ < 0), sensul vectorului este conform celor aratate in figura 2, de la punct catre sarcina.

Potentialul electric creat de o sarcina electrica punctiforma, intr-un punct situat la o anumita distanta de acesta este o marime scalara si are expresia (pentru cazul prezentat in figura 5):

in care x este distanta de la sarcina la punct (4)

, cu x>0, iar sarcina q poate fi q > 0 sau q < 0.

Rezulta ca potentialul electric (aici electrostatic) intr-un punct poate fi pozitiv sau negativ. Potentialul egal cu zero se numeste potential de referinta si in cazul unei singure sarcini punctiforme q , valoarea 0 se indeplineste pentru r→∞.

Daca exista mai multe ("n") surse de camp potentialul intr-un punct situat in vid se obtine prin superpozitie . Potentialul electric fiind o marime scalara , suma este o suma algebrica.

(5)

Pentru cazul celor doua surse punctiforme de camp, figura 4 :

(6)

In formulele (6) sau (5) sarcinile, respectiv potentialele partiale pe care le genereaza, se introduc in calcul cu semnul lor.

Diferenta de potential electric intre doua puncte ale spatiului se numeste tensiune electrica si este egala cu diferenta potentialelor respective :

(7)

In cuvinte relatia (7) se poate exprima astfel:"Tensiunea electrica intre punctele 1 si 2 (in aceasta ordine) este egala cu diferenta intre potentialul electric in punctul 1 si potetialul electric in punctul 2 (in aceasta ordine)". Fiecare din cele doua potentiale este exprimat in functie de aceeasi referinta (V₀ = 0). De asemenea:

Daca exprimam tensiunea intre un anumit punct si punctul de referinta (de potential zero) obtinem; , daca V₀ = 0 (potential de referinta)   (8)

APLICATIE ; se redacteaza urmatoarea rezolvare in referatul scris de catre student.

Sarcina electrica punctiforma Q₁ = -4μC este plasata in punctul A, sarcina electrica Q₂ = 3μC este plasata in punctul B (deci Q₁ < 0, sarcina electrica negativa si Q₂ > 0, sarcina electrica pozitiva, situatie diferita fata de cea reprezentata in figura 4), iar distanta intre cele doua sarcini este de 3 metri. Se cer:

a) sa se calculeze intensitatea campului electric in punctul M, varful triunghiului dreptunghic isoscel AMB, cu unghiul drept in M; desen, modulul intensitatii ,componentele E_Mx si E_My, si, expresia vectorului E_M

b) sa se calculeze potentialul electric in acelasi punct.

Rezolvarea acestei aplicatii se face in timpul lucrarii de laborator (macar partial)

4. UTILIZAREA PROGRAMULUI QFIELD

In partea aplicativa a lucrarii vom utiliza si interpreta solutii ale unor probleme , obtinute cu programul de element finit Quick Field (QField 5.3 Student version). Pentru cei interesati se poate oferi pe suport electronic atat programul de calcul, manualul de utilizare, cat si tutorialul pentru "autoinstruire". Desigur toate acestea se pot obtine (eventual in variante si mai recente, de pe site-ul Tera Analysis).

Trebuie mentionat faptul ca programul de calcul numeric este conceput pentru a modela situatii reale, chiar daca simplificate si in 2D, dar reale. Din acest motiv nu putem modela o problema in care sarcinile sunt punctiforme. Oricat de mica ar fi dimensiunea unui corp incarcat cu sarcina electrica, aceasta dimensiune nu este zero.

In modelarea problemei pe calculator s-a presupus ca sarcina este distribuita uniform pe suprafata unei sfere de raza foarte mica. Asa cum se va arata la curs si seminar (partial cunoscut si din liceu), campul electrostatic in spatiul din jurul unei sfere plasata intr-un spatiu de extensie infinita (foarte mare), uniform incarcata cu sarcina electrica, are atat expresia cat si valoarea in orice punct exterior sferei identice cu cele din situatia idealizata, cand se considera intreaga sarcina concentrata in centrul sferei. In figura 6 este prezentata comparatia intre cele doua situatii:

sarcina electrica q, concentrata, presupusa punctiforma

sarcina electrica q, distribuita uniform pe suprafata unei sfere de raza a, cu densitatea ρ_s, constanta in orice punct al sferei conductoare

Se arata in figura 6 ca la distanta "a" de punctul central "0" valoarea campului E are aceeasi valoare, in ambele situatii , valoare notata cu "b" in grafic,

(9)

Conform celor prezentate in grafic ( figura 6) sarcina q > 0. Pentru orice punct situat la o distanta r > a fata de centrul de simetrie al problemei, expresia campului (implicit si valoarea intensitatii campului electrostatic) este cea data de (2), in ambele cazuri.

De asemenea se poate aminti ca expresiile intensitatii campului si a potentialului electric sunt aceleasi pentru puncte din exteriorul sferei si daca aceeasi sarcina electrica q este simetric distribuita in volum in interiorul unei sfere dielectrice (izolanta) de raza "a". Mai multe amanunte privind campul electrostatic, legate si de aceasta problema, vor fi analizate in cadrul seminarului.

Alaturat este prezentata schema logica pe baza careia se pacurg pasii necesari pentru rezolvarea unei probleme. In cea mai mare parte, in cadrul programului minimal obligatoriu al laboratorului, ne vom ocupa doar cu interpretarea rezultatelor obtinute (Analyze Results), pentru o problema anterior tratata conform schemei alaturate.Prima problema la care ne referim este L201, cu modelul geometric discretizat in elemente finite (triunghiuri), model prezentat in fig.7.

Rezolvarea acestei probleme (ca si a oricarei alte probleme) cu programul QField se face utilizand metoda elementelor finite (MEF). Foarte sumar spus aceasta presupune introducerea geometriei, a surselor de camp, a proprietatilor de material (mediu) si a conditiilor de frontiera (valori la limta de extensie sau analiza a campului). In continuare are loc rezolvarea ecuatiilor campului pe fiecare element finit (triunghi) si apoi asamblarea , din aproape in aproape, de la triunghi la triunghi, pentru a obtine solutia pentru ansamblu. Mai multe elemente in Manulul de utilizare si in Tutorial. ( pentru cei interesati)

Problema cu geometria prezentata in figura 7 stabileste campul produs de o sarcina punctiforma pozitiva. Asa cum am precizat anterior sarcina cu care poate lucra programul este distribuita pe o sfera de raza foarte mica, care este reprezentata in figura sub forma "emisferei negre".

Programul, in varianta Student, poate lucra cu maximum 200-250 de noduri. Un nod este punctul de intalnire al mai multor elemente finite, triunghiuri (varful comun al mai multor triunghiuri adiacente). Variantele profesionale pot lucra cu 100 000 de noduri si, mai recent, cu "un numar (asazis) infinit de noduri". Cu cat numarul de noduri disponibile este mai mare cu atat descrierea problemei este mai precisa (ca in cazul unui mozaic sau a unei imagini realizata din pixeli).

4.PARTEA PRACTICA

. Se deschide programul QField Student versiunea 5, problema L201. Se remarca din reprezentarea grafica (Geometry) , prezentata si in figura 7, ca este aratata doar jumatate din sectiunea radiala. Pentru a avea imaginea globala a problemei ("3D") trebuie rotita (virtual, in mintea noastra) configuratia existenta in jurul axei 0z.

In meniul afisat in partea stanga sus, etichetarea (denumirea ) laturilor - Edge Labels - contine doua elemente FRONTIERA si SARCINA (marcate si in figura 7 , care prezinta geometria problemei, inclusiv reteaua de discretizare). Se verifica (prin dublu "click") faptul ca acestea contin valorile pozitive:

- Potentialul laturii FRONTIERA U₀ = V_FR - V₀ = V_FR - 0 = V_FR = 141.37 V

- Densitatea de sarcina pe suprafata sferei "punctiforme" , Surface Charge σ = 1μC/m² =1·10^-6 C/m² = 1·e ^-6 C/m² . (De fapt sfera modelata este de raza 25 mm; daca aveam la dispozitie mai multe noduri puteam sa o facem de raza 5mm, sau 1mm sau chiar mai mica) Daca se gasesc alte valori se fac corecturile corespunzatoare.

.Se rezolva problema:

- click pe semnul egal verde ( "=" ) de pe Tool bar, sau

- deschizand Problem se alege Solve L201

Se analizeaza rezultatele. Dupa rezolvare se raspunde cu "Yes" sau daca este necesar, DUPA REZOLVARE, click pe "ochelari verzi" sau Analyze Results de la Problem)

VIZUALIZAREA TREBUIE FACUTA DUPA REZOLVAREA PROBLEMEI CU DATELE DE INTRARE DORITE; ALTFEL AFISAREA REZULTATELOR VA FI FACUTA PENTRU ULTIMA VARIANTA REZOLVATA ANTERIOR

4.5. Se raspunde la urmatoarele intrebari: (in scris, in referat, in continuare, dupa 3.1)

a) Ce forma au liniile echipotentiale? (Reamintim ca suprafetele echgipotentiale sunt acele suprafete pe care, in orice punct al lor, potentialul are o anumita valoare constanta. Se poate spune ca suprafetele echipotentiale reprezinta locul geometric al punctelor care au au anumit, acelasi, potential electric. In sectiune - domeniul bidimensional, 2D - suprafetele echipotentiale apar sub forma unor curbe ).

b) Ce valoare are potentialul pe linia echipotentiala cea mai apropiata de frontiera? Se verifica in cateva puncte. Se va nota raza corespunzatoate liniei echipotentiale si potentialul (valoarea rotunjita la intreg).

Pentru a citi din program valori ale marimilor calculate in program se poate proceda astfel:

-se deschide din Toolbar pozitia View; alege Local Values , fapt care deschide o noua fereastra, la care in subsidiarul indicatiei cu aparatul de masura si Local Values, gasiti !Click the point to display the field values.

-revenind pe fereastra care reprezinta solutia grafica a problemei, cursorul este purtatorul aparatului de masura. Prin click in pozitia dorita (coordonatele sunt afisate, in functie de pozitia cursorului mutat cu Mouse-ul) stabiliti punctul unde se face "citirea". Grafic, in fereastra, pozitia este data de "+" atasat aparatului de masura.

-Valoarea potentialului electric al punctului se gaseste trecuta sub forma:Voltage U= V.

-Este vorba de tensiunea electrica intre acel punct si potentialul de referinta:

U =  V_punct - V₀ = V_punct - 0 = V_punct

deci U este chiar potentialul electric cautat, pentru ca potentialul de referinta a fost ales 0.

c) Sa se reprezinte grafic variatia potentialului pe linia (latura) ce uneste sfera cu frontiera.

- din Toolbar se alege Contour. Apoi Pick Elements ( Line/Edge). Diferenta intre Line si Edge este aceea ca o latura (Edge) separa doua domenii sau este o frontiera, pe cand o linie poate fi dusa intre oricare doua puncte din configuratie. O linie poate fi trasata de la inceput (Geometry) sau poate fi adaugata in faza de interpretare a rezultatelor.

- prin Click pe elementul dorit , latura respectiva se coloreaza in verde si o sageata va arata sensul de parcurgere al laturii respective.

- se intra in View (din Toolbar) si se alege XY- Plot.

de obicei apare direct reprezentarea grafica a potentialului in lungul laturii (sau liniei) alese. Latura respectiva are o anumita lungime si punctul 0 al reprezentarii depinde de sensul ales: de la sarcina spre frontiera sau invers.

- pentru reprezentarea grafica , calitativa, se vor alege cateva valori ale potentialului, pentru punctele situate (spre exemplu) la o distanta L = 0; 50; 200 si 400 mm. Se pot alege (fiind chiar recomandat) alte valori la care citirea de pe grafic este mai convenabila.

4.6. Se vizualizeaza vectorii intensitate a campului electric

- deschide View (din Toolbar); se inchid eventuale ferestre suplimentare.

- se alege Field Picture si din fereastra aparuta de alege (pe patratelul alb) Vectors of: Strength E

- de la Scale se poate mari valoarea afisata (vectorii vor fi "mai lungi"), iar de la Cell se poate creste distanta intre originile a doi vectori alaturati reprezentati (vectorii vor fi mai "rari")

- se remarca faptul ca vectorii sunt ortogonali pe liniile echipotentiale.Aceasta concluzie se trece in referat.

4.7. Se raspunde la aceleasi intrebari de la 4.5. dar modificand datele de intrare (vezi 4.2) astfel:

- Potentialul laturii FRONTIERA U₀ = V_FR = -141.37 V

- Densitatea de sarcina pe suprafata sferei "punctiforme" Surface Charge σ = -1μC/m² .

a) Ce forma au liniile echipotentiale?

b) Ce valoare are potentialul pe linia echipotentiala reprezentata pe ecran, cea mai apropiata de frontiera si la ce distanta (raza) fata de centrul sarcinii se gaseste ea?

c) Sa se reprezinte grafic, calitativ, variatia potentialului pe linia radiala (latura) ce uneste sfera cu frontiera.

d) Care este sensul vectorilor E in acest caz, fata de cazul precedent?

SUPLIMENTAR

4.8. Se deschide problema L202, care modeleaza o situatie similara celei produsa de doua sarcini punctiforme, egale si de semn opus; se vor preciza in referat urmatoarele:

a) schita de principiu a geometriei problemei, indicand pe desen numele (Q₁ , Q_A, q₁ etc), valoarea si semnul sarcinilor; din Data obtineti valoarea introdusa pentru densitatea de sarcina pe care inmultind-o cu suprafata sferei de raza R = 25mm obtineti sarcina respectiva

b) de unde pornesc si unde se termina liniile de camp

c) care este orientarea lor (a vectorilor de camp, E sau D) fata de liniile echipotentiale

5. Teme

A. Doua sarcini punctiforme sunt situate in vid, in planul z = 0 in punctele A(0,0) si B(0,2g), puncte situate la distanta de (2·g) metri unul de celalalt; g este numarul semigrupei din care face parte studentul. Cele doua sarcini au valorile Q_A= (-1)^N G μC si Q_B=(-1)^N+1 G μC, G fiind numarul grupei, iar N numarul de ordine in semigrupa.

Sa se calculeze si sa se reprezinte grafic vectorul intensitate a campului electric in urmatoarele puncte:

5.1. E_M, M fiind mijlocul distantei intre A si B; valoare si 5.2.desen

5.3. E_P, P fiind varful triunghiului echilateral ABP; valoare si 5.4.desen

5.5. E_R, R fiind varful triunghiului dreptunghic isoscel, cu unghiul drept in B ; valoare si 5.6.desen

B.Pentru aceleasi sarcini, plasate identic ca la problema precedenta (A), sa se calculeze:

5.7. U_MP, tensiunea intre punctele M si P

5.8. U_PR, tensiunea intre punctele P si R

5.9. V_C , potentialul punctului C(-2g,0), daca potentialul de referinta se considera la infinit.