Ghiduri de unda

GHIDURI DE UNDA

Propagarea campului electromagnetic in ghidurile de unda

Ghidul de unda este destinat propagarii undelor electromagnetice. El are o structura plan paralela si poate fi format din una sau mai multe armaturi (in fig.4.1, avem 3 armaturi)

Propagrea undei electromagneice de-a lungul ghidului, in sensul axei oz, cu viteza v, inseamna regasirea valorilor marimilor campului din sectiunea z si timpul t, la sectiunea z+Dz si la timpul t+Dt, unde . De exemplu,  intensitatea campului electric, este de forma: . Imediat se verifica: ==in cazul regimului sinusoidal, avem:

unde, pentru mai multa precizie, este numita viteza de faza, marimea regasindu-si faza la . Imaginea in complex este:

(4.1)

unde:

  (4.2)

si sunt componentele transversala si longitudinala ale lui E.

Este util sa determinam expresiile operatorilor div si rot pentru componentele transversala si longitudinala:

(4.3)

(4.4)

2. Ecuatiile campului electromagnetic, pe componente longitudinale si transversale

|inand cont de (4.4), legea inductiei electromagnetice devine:

=

Egaland componentele transversale si longitudinale, obtinem legea inductiei electromagnetice, scrisa pe componente:

=    (4.5)

= (4.6)

La fel, legea circuitului magnetic, scrisa pe componente, este:

= (4.7)

=   (4.8)

Vom analiza, in continuare, ghidurile de unda care pe frontiera au pereti perfect conductori, numite ghiduri cu "pereti electrici". in vecinatatea peretelui perfect conductor componenta tangentiala a intensitatii campului electric este nula. De aici, pentru componentele longitudinala si transversala ale intensitatii campului electric rezulta conditiile pe forntiera W a domeniului W

  (4.9)

=0 sau =0 (4.10)

unde t este versorul tangent la W (Fig.4.1)

inmultim vectorial relatia (4.6), la stanga, cu versorul k. |inand cont de formula dublului produs vectorial /1/: = si de faptul ca , , si sunt ortogonale pe directia k, rezulta:

=

inlocuind din relatia (4.8) si notand =, obtinem:

=+    (4.11)

Asemanator, inmultind vectorial relatia (4.8), la stanga, cu versorul k si inlocuind din (4.6), rezulta:

=  (4.12)

Pentru intensitatea campului electric, conditiile de frontiera sunt date de relatiile (4.9) si (4.10). inmultim scalar relatia (4.11) cu versorul tangent t. Din conditiile de frontiera (4.9) si (4.10), rezulta =0 si ==0 si, deoarece (Fig.4.1), avem:

==0 (4.13)

Reciproc, daca verifica conditia de frontiera (4.13) si verifica (4.9), atunci verifica conditia de frontiera (4.10).

inmultind scalar relatia relatia (4.6) cu versorul n si, tinand cont de relatia si de conditiile de frontiera (4.11), (4.12), rezulta:

=0  (4.14)

Relatiile (4.13) si (4.14) sunt conditiile de frontiera pentru componentele intensitatii campului magnetic.

Observatie. Relatiile (4.11) si (4.12) arata ca, pentru , si sunt definite de "variabilele" independente , . Se observa ca daca =0, atunci =ct, si, deoarece pe frontiera, =0 (4.9), =0 in intreg domeniul W. De asemenea, daca =0, atunci =ct. Folosind relatia lui Stokes si tinand cont de faptul ca are componenta tangentiala nula pe frontiera W avem: = =0. Din relatia (4.5) rezulta ca =0, deci =0.

Ghiduri omogene, fara pierderi

in medii omogene, (Cap.II.5) si . Scrise pe componente, aceste conditiile de divergenta nula sunt:

(4.15)

   (4.16)

in medii omogene, ecuatia undelor este (2.35'):

(4.17)

unde

= (4.18)

.Dar tinand cont de forma lui , definit de propagarea de-a lungul ghidului (4.1), avem:

. (4.19)

Ecuatia (4.19) are pe x, y ca variabile, iar necunoscuta are componente in planul transversal si pe directia longitudinala . Scriind ecuatia (4.19) pe componente, avem:

(4.20)

cu conditiile de frontiera (4.10) si:

. (4.21)

cu conditiile de frontiera (4.9). Aplicand operatorul rot relatiei (4.8), prelucrand dublul produs vectorial si tinand cont de proprietatea , rezulta:

Utilizand si relatiile (4.5) si (4.16), rezulta:

   (4.22)

Ecuatia (4.22) este identica cu (4.21), dar are conditiile de frontiera (4.13). Aplicam operatorul rot relatiei (4.7), luand in considerare proprietatea = si eliminand aceasta expresie din relatia (4.12), avem:

=+

Utilizand proprietatea =+ si relatia (4.16), relatia de mai sus devine:

=  (4.23)

Ecuatia (4.23) este identica cu (4.20), dar are conditiile de frontiera (4.14).

Teorema 4.1. Presupunem . Daca verifica ecuatia (4.21), cu conditia de frontiera (4.9) si verifica ecuatia (4.22), cu conditia de frontiera (4.13), atunci verifica ecuatia (4.20) cu conditia de frontiera (4.10) si verifica ecuatia (4.23) cu conditia de frontiera (4.14).

Demonstratie. Afirmatia privind conditiile de frontiera a fost dovedita mai sus.

Aplicam operatorul (scalar) relatiei (4.11) si, dupa schimbarea ordinei de derivare, acem:

=+

Deoarece si verifica ecuatiile (4.21) si, respectiv, (4.22), rezulta:

=+

inlocuind membrul drept din relatia (4.11), rezulta ecuatia (4.20). Asemanator se arata ca verifica ecuatia (4.23). ■

in general, pentru o valoare data a factorului , este posibil ca ecuatiile (4.21) si (4.22) sa nu fie verificate simultan de valori nenule ale lui si . in acest caz, una din componentele sau poate fi nula.

3. Modul TEM.

Este interesant de analizat cazul in care "variabilele" , sunt nule, in relatiile (4.11) si (4.12). Conform Observatiei de la Cap.2, =0 si =0. Relatiile (4.11) si (4.12) arata ca singura posibilitate de a avea componente transversale si nenule este oferita doar de conditia:

  (4.24)

Din interpretarea data lui la inceputul Cap.1 si din relatia (4.18), rezulta =, deci viteza de faza v este egala cu viteza luminii c, indiferent de pulsatia

Daca H_z = 0, din (4.5) rezulta , cu conditia de frontiera =0 pe W. Potentialul poate fi nenul doar daca W este formata din mai multe suprafete disjuncte (vezi teorema de unicitate din /1/). Deci trebuie ca ghidul de unda sa aiba cel putin 2 armaturi (de exemplu cablul coaxial, linia microstrip). Din (4.15) rezulta ca , cu valori V=ct. pe armaturi. Determinrea potentialului este o problema de electrostatica.

Deoarece , din relatia (4.6) rezulta:

(4.25)

Deoarece atat intensitatea campului magnetic, cat si intensitatea campului electric au componentele longitudinale (pe oz) nule, spunem ca avem modul Transversal Electro Magnetic (TEM) de propagare. Toate frecventele din modul TEM au aceeasi viteza de faza.

Modul TEM este cel adoptat la analiza liniilor lungi, omogene, fara pierderi. Acestea sunt tot ghiduri de unda. De multe ori, modelul este adoptat, cu buna aproximatie si la linii lungi cu pierderi relativ mici si la ghiduri neomogene. in aceste cazuri, spunem ca avem mod cvaziTEM.

Concluzie. Modul TEM poate exista doar in ghiduri de unda cu mai multe armaturi si este definit de conditia:

, = 0

echivalenta cu conditia:. Componenta transversala a lui E este:

(4.26)

unde potentialul V verifica ecuatia:

(4.27)

si conditiile de frontiera V=ct.= pe armaturile i. Componenta transversala a lui H este:

(4.28)

4. Moduri TM

in general, pentru o valoare data a factorului , ecuatiile (4.21) si (4.22) nu sunt verificate simultan de valori nenule ale lui si . in acest caz, una din componentele sau poate fi nula.

Sa presupunem ca =0. Ramane "variabila" , care verifica ecuatia (4.21). Solutiile nenule ale ecuatiei (4.21), numite functii proprii, sunt functii reale si corespund valorilor proprii reale, pozitive >0, operatorul -, fiind pozitiv definit si simetric /8/:

. (4.29)

Functiile sunt nule pe frontiera (4.9). Deci:

=  (4.30)

Spunem ca fiecare valoare proprie defineste un mod de propagare . Le vom spune moduri transversal magnetic (TM), deoarece intensitatea campului magnetic are doar componenta transversala. Avem =, de unde:

(4.31)

Folosind relatia (4.18), rezulta ca viteza de faza este:

si, pentru fixat, depinde de pulsatia . (Unda electromagnetica se propaga cu viteza c). Frecventa de taiere pentru propagarea lui = este data de conditia , deci:

Sub aceasta frecventa de taiere, capata valori imaginare (4.31) si, din relatia (4.1), rezulta o unda care se atenueaza.

La frecventa data, sunt valabile doar valorile proprii care fac reala expresia (4.31). Avem deci un numar finit de valori proprii si de moduri .

Deoarece =, din relatiile (4.11) si (4.12) rezulta:

== (4.32)

== (4.33)

5. Moduri TE

Sa presupunem acum ca =0. Ramane "variabila" , care verifica ecuatia (4.22). Solutiile nenule ale ecuatiei (4.22), numite functii proprii, sunt functii reale si corespund valorilor proprii reale, pozitive >0:

. (4.34)

Ecuatia de valori si functii proprii (4.33) este identica cu (4.29), dar spre deosebire de functiile , care erau nule pe frontiera, functiile au derivata nula pe directia normalei (4.13). Valorile proprii si functiile proprii sunt diferite de si, respectiv, . Deci:

=   (4.35)

Spunem ca fiecare valoare proprie defineste un mod de propagare , pe care-l vom numi transversal magnetic (TM), deoarece intensitatea campului electric are doar componenta transversala.

Deoarece =, din relatiile (4.11) si (4.12) rezulta:

= = (4.36)

== (4.37)

6. Descompunerea in moduri a undei electromagnetice din ghid

Sa presupunem ca in ghidul avem unda electromagnetica caracterizata de marimile . Conform celor prezentate in capitolele precedente, doar anumite valori ale lui asigura existenta acestor marimi. Deci, in cazul general, poate fi doar o suma de termeni corespunzatori valorilor lui :

=+

+ (4.38)

unde:

corespunde modului TEM (=),

corespunde modului TM,

corespunde valorilor proprii ale modului TM,

K este numarul maxim de valori proprii admise de modul TM, la frecventa de lucru,

corespunde modului TE,

corespunde valorilor proprii ale modului TE,

I este numarul maxim de valori proprii admise de modul TE, la frecventa de lucru.

Conform rezultatelor prezentate la Cap.3.4.5, componentele longitudinale si transversale pentru sunt:

= (4.39)

unde potentialul V verifica ecuatia (4.27) si conditiile de frontiera V=ct.= pe armaturile i.

|inand cont de (4.30), (4.32) si (4.33), componentele longitudinale si transversale pentru sunt:

= (4.40)

unde verifica ecuatia (4.29) si are valori nule pe frontiera (4.9).

|inand cont de (4.35), (4.36) si (4.37), componentele longitudinale si transversale pentru sunt:

= (4.41)

unde verifica ecuatia (4.34) si are derivata nula pe directia normalei (4.13).

Daca componentele longitudinale si transversale pentru sunt , atunci fiecare componenta se scrie in serie de moduri, ca in relatia (4.38). Pentru componentele longitudinale ale intensitatii campului electric si magnetic, avem:

= (4.42)

= (4.43)

Pentru componentele transversale ale intensitatii campului electric si magnetic, avem:

=

+ (4.44)

=

(4.45)

Conform Anexei C, coeficientii , , se pot obtine inmultind vectorial relatia (4.44) cu functiile , si, respectiv, si determinand apoi fluxul pe W

7. Puterea electromagnetica transmisa pe ghid

Puterea complexa transmisa printr-o sectiune oarecare a ghidului este data de fluxul vectorului Poynting complex:

=

|inand cont de Anexa C, rezulta:

=+

+ (4.46)

Deci puterea complexa transmisa pe ghid este suma puterilor transmise pe moduri. |inand cont de proprietatile P1, P4 si P8 din Anexa C, mai putem scrie:

=+

+ (4.47)

Observatii. 1. Puterea complexa trimisa prin ghidul fara pierderi are doar componenta reala. Deci ghidul transfera doar putere activa.

2. Puterea transferata pe modul TEM nu depunde de frcventa si este proportionala cu energia campului electric rezolvat in problema de electrostatica , cu conditiile de frontiera V=ct.= pe armaturile i.

3. De multe ori este convenabil sa alegem functiile proprii si de norma unitara, adica =1. in acest caz relatia (4.47) se simplifica:

=++ (4.48)

4. Deoarece , rezulta ca puterea transmisa pe modurile TM (la fel si pe TE) este mai mica la moduri superioare.

5. Valorile si functiile proprii ale ghidului depind doar de forma geometrica a ghidului. Daca marim frecventa, atunci, din relatia , rezulta ca puterea transferata prin ghid este mai mare. Din pacate, adaptarea ghidului la sarcina ne obliga sa lucram pe o anumita frecventa si atunci este de preferat ca ghidul sa fie astfel proiectat incat sa fie un filtru trece-sus. Dimensiunile sale sunt astfel alese incat, la frecventa de lucru sa obtinem modul cel mai jos (valoarea cea mai mica pentru ).

8. Aplicatie. Ghidul dreptunghiular

Fie ghidul din Fig.4.2., unde a = 62mm, b = 35mm. Pentru a gasi functiile si valorile proprii in ecuatiile (4.29) si (4.34), folosim metoda separarii variabilelor /9/. Scriem:

=

Din ecuatia (4.29), rezulta:

(4.49)

impartind cu , avem:

   (4.50)

Fiecare termen din membrul stang al relatiei (4.50) trebuie sa fie o constanta, daca suma lor este o constanta. Rezulta:

(4.51)

si

    (4.52)

Cele doua ecuatii diferentiale au radacinile:

Pentru a gasi modurile TM, punem conditia ca functia proprie sa fie nula pe frontiera:

,   , , (4.53)

Rezulta:

, , , , (4.54)

Deci:

==+ (4.55)

si:

= === (4.56)

unde k este indicele de numarare a perechilor . Se vede usor ca solutiile asociate valorilor sau nu sunt convenabile (de exemplu, conditiile de frontiera nule impuse lui conduc la ).

Cea mai mica valoare proprie este =+ si corespunde modului TM: =. Frecventa de taiere este deci (Cap.4):

= 4.92GHz (4.57)

Pentru a gasi modurile TE, punem conditia ca, pe frontiera, derivatele functiei proprii , pe directia normalei sa fie nule:

,   , , (4.58)

in acest caz, sunt valabile si valorile , , pentru care se obtine:

,

Din conditiile de frontiera rezulta:

, si ,

Valorile proprii sunt:

==  (4.59)

iar modurile TE corespunzatoare sunt:

== (4.60)

De asemenea sunt valabile si valorile , , pentru care se obtine:

Din conditiile de frontiera rezulta:

, si ,

Valorile proprii sunt:

== (4.61)

iar modurile TE corespunzatoare sunt:

==    (4.62)

Pentru , , rezulta:

, , , ,

Deci:

===+   (4.63)

si:

==   (4.64)

unde i este indicele de numarare a perechilor . Cea mai mica valoare proprie este = sau =si corespunde modulurilor TE: = sau, respectiv, =. in cazul numeric ales, cea mai mica valoare proprie corespunde modului TE(1,0). Frecventa de taiere este:

=2.42GHz (4.57)