Energia oscilatorului intretinut

Energia oscilatorului intretinut

In continuare se analizeaza energia oscilatorului intretinut, neamortizat si a celui amortizat

Energia oscilatorului intretinut si neamortizat

Daca oscilatorul este neamortizat si intretinut de o forta perturbatoare sinusoidala, ecuatia diferentiala a miscarii se obtine din ecuatia (3.4.45) in care coeficientul de amortizare c = 0.

(3.4.75)

Solutia ecuatiei diferentiale este:

(3.4.76)

Atunci cand conditiile initiale sunt:

la t = 0 (3.4.77)

ecuatia miscarii oscilatorii este:

(3.4.78)

iar miscarea sistemului oscilant este nearmonica.

La rezonanta, iar sistemul oscilant va avea ecuatia de miscare:

(3.4.79)

Graficul miscarii oscilatorii neamortizate si intretinute de forta perturbatoare sinusoidala, la rezonanta, este prezentat in figura 3.25

In cazul oscilatiilor neamortizate si intretinute, pornind de la ecuatia diferentiala a miscarii, prin inmultire cu se obtine:

(3.4.80) sau: (3.4.81)

Tinand cont de expresiile energiei cinetice si a energiei potentiale date de relatia (3.4.43) se obtine: (3.4.82)

in care este lucrul mecanic elementar efectuat de forta perturbatoare asupra sistemului. Deci, sistemul oscilant isi creste energia datorita lucrului mecanic al fortei perturbatoare.

In cazul rezonantei, pornind de la ecuatia de miscare a oscilatorului, descrisa de relatia (3.4.79) se poate calcula lucrul mecanic efectuat de forta perturbatoare asupra sistemului in timp de o perioada. Diferentiand relatia (3.4.79) se obtine:

(3.4.83)

Lucrul mecanic al fortei perturbatoare, la rezonanta, intr-o perioada, este:

(3.4.84)

Deci, in cazul oscilatiilor intretinute, neamortizate, in timp de o perioada, la rezonanta, sistemul primeste din partea fortei perturbatoare o cantitate de energie constanta. De aceea, energia sistemului creste, iar amplitudinea oscilatiei creste liniar, asa cum se vede in figura 3.25.

Energia oscilatorului intretinut si amortizat

In cazul oscilatiilor intretinute si amortizate, se obtine, pe baza aceluias rationament descris anterior, relatia: (3.4.85)

in care este lucrul mecanic elementar efectuat de forta perturbatoare, iar este lucrul mecanic elementar efectuat de forta de frecare vascoasa asupra sistemului. Se observa ca lucrul mecanic elementar efectuat de forta perturbatoare este pozitiv si duce la cresterea energiei totale a sistemului, iar lucrul mecanic elementar efectuat de forta de frecare vascoasa este negativ si duce la scaderea energiei totale a sistemului.

Pornind de la ecuatia de miscare a sistemului in regim permanent (3.4.59), prin derivare si diferentiere se obtine:

(3.4.86)

si:  (3.4.87)

Lucrurile mecanice elementare si vor avea expresiile:

(3.4.88)

(3.4.89)

Integrand cele doua expresii, pe intervalul de timp de o perioada, se obtine:

(3.4.90)

si:  (3.4.91)

Deci, in timp de o perioada, in regim permanent (3.4.92)

iar:    sau: (3.4.93)

Energia totala a oscilatorului este constanta, deoarece energia primita de sistem de la forta perturbatoare este cedata in acelasi timp si in aceeasi cantitate, sub forma de lucru mecanic de frecare.