Divergenta unei functii vectoriale

Divergenta unei functii vectoriale

Fie o functie vectoriala oarecare in spatiul tridimensional; are in fiecare punct din spatiu o directie si o marime bine definita.

Se considera un volum finit (V_S) de forma oarecare, a carui suprafata se noteaza cu (S

Fluxul total al functiei vectoriale prin suprafata (S) este:

(A.4.6)

unde este un vector infinitezimal a carui marime este egala cu aria unui element al suprafetei (S), iar directia coincide cu normala exterioara la acest element de suprafata (fig. A.4.1).

Fig.A.4.1.

Se divizeaza volumul (V_S) intr-un numar mare de portiuni de volume: cu suprafetele care le delimiteaza . Indiferent de numarul portiunilor:

, (A.4.7)

deoarece suprafetele comune pentru doua portiuni vecine (alaturate) au contributii egale la flux dar de semn opus. Pentru a demonstra aceasta, se considera ca volumul (V_S) este delimitat in doua portiuni de volume si , cu:

(A.4.8)

si fie (D) suprafata de separatie a celor doua portiuni (fig.A.4.2).

Fig.A.4.2.

Intrucat:

rezulta:

(A.4.9)

si atunci:

. (A.4.10)

La limita, cand n , vrem sa gasim ce este caracteristic pentru o portiune foarte mica si, in final, pentru vecinatatea unui punct. In acest sens se considera raportul:

(A.4.11)

si se observa ca pe masura ce are loc divizarea in mai multe parti a volumului , care implica divizarea integralei in mai multi termeni, raportul (A.4.11) tinde catre o limita. Aceasta limita este o proprietate caracteristica a functiei vectoriale in vecinatatea punctului continut in volumul , numita divergenta lui , adica:

(A.4.12)

unde (S_k) este suprafata ce delimiteaza volumul si pe care se ia integrala de suprafata.

Din (A.4.12), este fluxul functiei vectoriale pe unitatea de volum prin suprafata (S_k) ce margineste volumul , pentru infinit de mic. Aceasta este o marime scalara de coordonate.

Trebuie introdusa insa, conditia ca limita din relatia (A.4.12) sa existe si sa fie independenta de modul de divizare.

Se demonstreaza, in continuare, ca in coordonate carteziene, divergenta functiei are expresia:

(A.4.13)

Se presupune o functie vectoriala care este exprimata in coordonate carteziene x, y si z. Exista, deci, trei functii scalare F_x(x,y,z); F_y(x,y,z) si F_z(x,y,z) astfel incat:

(A.4.14)

Se considera un volum (V_k) de forma unui paralelipiped cu unul din colturi in punctul de coordonate (x,y,z) si cu laturile de lungime Dx, Dy si Dz (fig.A.4.3). Consideram doua fete opuse ale paralelipipedului, de exemplu cele din planul z=const. Fluxul prin aceste suprafete se datoreaza numai componentei F_z a functiei pe directia z si contributia finala depinde doar de diferenta intre valoarea medie a lui F_z pe suprafata superioara si valoarea medie a lui F_z pe suprafata inferioara. Pentru a obtine aceasta diferenta se are in vedere faptul ca valorile medii pe cele doua suprafete (in prima aproximatie) sunt valorile functiilor in centrul suprafetelor (fig. A.4.4) si se foloseste aproximatia liniara a dezvoltarii in serie Taylor:

Fig. A.4.3.

   (A.4.15)

Fig.A.4.4.

Valoarea medie a lui F_z pe suprafata inferioara este:

,

iar pe suprafata superioara:

.

Fluxul total ce iese din paralelipiped prin cele doua suprafete a caror arie este xy este egal cu:

(fluxul ce iese prin suprafata superioara)

(fluxul ce intra prin suprafata inferioara)

.

Aplicand acelasi rationament si pentru celelalte fete si insumand rezultatele, se obtine expresia fluxului total prin paralelipiped, pentru functia :

(A.4.13)