Aceste probleme au fost rezolvate printr-o varietate de cai, toate implicand instrumente mult mai complicate decat o rigla si un compas.In orice caz pana in sec. XIX e.n., nu s-a dovedit ca problemele mentionate nu s-ar fi
putut rezolva utilizand doar aceste instrumente elementare.
Spre sfarsitul sec. V i.Hr., un matematician necunoscut a descoperit ca nici o unitate de masurare a lungimii nu ar putea masura exact atat latura cat si diagonala unui patrat, adica nu exista un raport a doua numere naturale care sa defineasca raportul ceor doua lungimi; Aceasta era urmarea faptului ca grecii utilizau in acea perioada numai numerele naturale pozitive.
Ca o consecinta a teoriei [relatiilor]? bazate pe numere, a lui Pitagora, a fost introdusa o noua teorie, cea a numerelor irationale. Aceasta trecere a fost facuta de matematicianul Eudoxus din Cnidus, ale carui solutii pot fi gasite in lucrarea "Elemente" a lui Euclid. Acesta a descoperit de asemenea, metoda de demonstrare a teoremelor despre arii si volume prin aproximari succesive. Euclid a fost atat matematician, cat si dascal, lucrand la faimosul muzeu din Alexandria; el a scris de asemenea despre optica, astronomie si muzica.
Cele treisprezece volume din care este formata opera "Elemente" contin marea parte a cunostintelor matematice elementare aprofundate pana in sec. IV i.Hr.
Secolul ce a urmat dupa Euclid, a fost marcat de geniul matematic, reprezentat prin lucrarile lui Arhimede din Siracusa si ale unui contemporan al sau, Apolonius din Perga. Arhimede a utilizat o metoda de cercetare, bazata pe evaluarea teoretica a figurilor infinitesimale, pentru a determina ariile si volumele figurilor generate de sectiunile conice.
Aceste sectiuni conice au fost descoperite de un elev al lui Eudoxus, numit Menaechmus si au costituit un subiect tratat de Euclid, dar scrierile lui Arhimede sunt cele mai vechi dovezi care ne-au parvenit.
Arhimede a investigat, de asemenea, centrele de greutate ale diferitelor corpuri solide care plutesc in apa. O mare parte din munca sa este o parte a ceea ce a devenit, mai tarziu, in sec.XVII, analiza matematica. El afost ucis de catre un soldat roman in timpul asedierii Siracusei.
