Teoremele lui Kirchhoff

Teoremele lui Kirchhoff

Avand in vedere faptul ca la rezolvarea circuitelor si retelelor de curent continuu metoda de baza utilizata este metoda teoremelor lui Kirchhoff, in cadrul acestui subcapitol vor fi prezentate cele doua teoreme celebre, elaborate de fizicianul german R. Kirchhoff, in anul 1847.

Teorema I

Suma algebrica a curentilor electrici de conductie din laturile care concura intr-un nod oarecare al unui circuit (sau al unei retele) de curent continuu este egala cu zero. Astfel spus, suma (aritmetica - de aceasta data) a curentilor care intra in nod este egala cu suma curentilor care ies din nodul respectiv.

Fie un astfel de nod b al unei retele de curent continuu, in care se intersecteaza mai multe laturi (minim 3) si o suprafata inchisa care inconjoara acest nod. Considerand normala la suprafata ca fiind pozitiva cand iese din aceasta si raportand sensurile curentilor care strabat suprafata la aceasta normala (fig. 4.4.1), teorema intai a lui Kirchhoff se poate scrie sub forma:

Teorema intai a lui Kirchhoff este o consecinta directa a teoremei continuitatii liniilor de curent (aceasta fiind, la randul ei, o consecinta directa a legii conservarii sarcinii electrice).

Curentii care ies din nod se considera pozitivi (au acelasi sens cu normala pozitiva la suprafata inchisa ), iar cei care intra in nod - negativi.

Prima teorema a lui Kirchhoff se aplica in (N-1) noduri ale circuitului/retelei, unde (N-1) este numarul nodurilor independente.

Teorema a II-a

Suma algebrica a tensiunilor de a bornele laturilor care alcatuiesc un ochi al unui circuit (sau al unei retele) de curent continuu este nula. Teorema a doua a lui Kirchhoff este o consecinta directa a teoremei potentialului electric stationar, respectiv a legii inductiei electromagnetice.

Fie un ochi p al unei retele electrice, acest ochi avand k laturi (fig. 4.4.2).

Se traseaza curba de integrare de-a lungul laturilor unui ochi de circuit si i se atribuie acesteia un sens de parcurs, care reprezinta sensul de referinta pentru tensiunile laturilor ochiului.

Aplicand teorema potentialului electric stationar pe curba se poate scrie:

relatie care descompusa pe portiuni (laturi) devine:

respectiv

Relatia (4.4.4) se mai poate scrie sub forma:

care exprima teorema a doua a lui Kirchhoff, tinand seama ca  (V_A-V_B) = U_b1 reprezinta tensiunea la bornele laturii 1, (V_B-V_C) - la bornele laturii 2 s.a.m.d.

Tensiunile la bornele laturilor, , se introduc in suma de mai sus cu semnul plus cand sensurile acestora coincid cu sensul arbitrar ales de parcurgere al ochiului si cu semnul minus, in caz contrar.

Teorema a II-a furnizeaza O ecuatii independente, unde O=L-N+1(regula lui Euler, din topologie), reprezinta numarul de ochiuri fundamentale ale retelei.

Teorema a II-a are si o alta forma (forma duala) si anume:

care se enunta astfel:

Suma algebrica a caderilor de tensiune pe rezistentele laturilor unui ochi este egala cu suma algebrica a t.e.m. din toate laturile care formeaza acel ochi.

Forma duala provine din rel. (4.4.5), daca se inlocuiesc tensiunile cu expresiile lor corespunzatoare din ecuatiile laturilor, scrise fie conform conventiei de la receptoare, fie conform conventiei de la generatoare

Termenii si respectiv, se iau cu semnul (+) sau (-) dupa cum semnul curentilor prin laturi, respectiv semnul t.e.m., coincid sau nu cu sensul de parcurs al ochiului respectiv.

Exemplu

Se cere sa se aplice teorema a doua a lui Kirchhoff pe ochi in ambele variante si sa se demonstreze validitatea acestora.

Pentru verificarea primei forme si pentru obtinerea formei duale din prima forma a teoremei a doua se poate proceda astfel :

Se considera ochiul de circuit  "p", care face parte dintr-un circuit liniar de c.c.

. Forma intai

Se duce un sens arbitrar de parcurs pe ochi si se scrie prima forma teoremei a doua:

Aceasta se mai poate scrie sub forma:

unde tensiunile la borne sunt scrise ca diferente de potential intre bornele laturilor.

Astfel, forma intai a teoremei a doua este verificata. Trebuie precizat faptul ca ducerea sensurilor tensiunilor pe laturile ochiului "p" este arbitrara.

. Forma a doua (forma duala) a teoremei a doua:

Se scriu ecuatiile laturilor, generatoare sau receptoare, dupa caz:

Latura 1 (receptoare, activa):

Latura 2 (receptoare, pasiva):

Latura 3 (generatoare):

Latura 4 (receptoare, pasiva):

Se face suma algebrica a tensiunilor pe ochi, in acord cu sensul de parcurs si se egaleaza cu zero (conform primei forme a teoremei):

Sau:

Separand termenii se obtine forma duala a teoremei pe ochiul "p" :

Forma matriceala a teoremei I

Pentru retele de dimensiuni mai mari (cu un mare numar de noduri si ochiuri), rezolvarea acestora se simplifica atunci cand se aplica teoremele lui Kirchhoff sub forma matriceala.

Astfel, forma matriceala a teoremei I este:

unde:

[A] reprezinta matricea de incidenta, sau de apartenenta a laturilor la noduri. Este o matrice dreptunghiulara cu dimensiunile L X (N-1), unde L este numarul laturilor incidente in nodurile retelei, iar (N-1) este numarul nodurilor in care se aplica teorema intai.

[A]_t este transpusa matricei [A];

este matricea curentilor din laturile care concura in nodurile retelei.

Matricea [A] este de forma:

, in care un element are valorile:

cand curentul apartinand laturii k iese din nodul b, latura fiind concurenta in nod

cand curentul apartinand laturii k intra din nodul b, latura fiind concurenta in nod

cand latura k nu concura in nodul b

Forma matriceala a teoremei a II-a

Sub forma matriceala, teorema a II-a a lui Kirchhoff poate fi scrisa astfel:

Sau, sub forma duala:

unde matricea B se numeste matricea de apartenenta a laturilor la ochiuri sau matricea de conexiune a retelei si este o matrice dreptunghiulara de dimensiuni (LXO), unde L este numarul laturilor retelei, iar 0 este numarul ochiurilor fundamentale ale acesteia.

Matricea B are forma:

avand termenii cu urmatoarele valori:

cand latura k apartine ochiului p, iar sensul de referinta al ochiului coincide cu sensul conventional al curentului (ambele alese arbitrar);

cand latura k apartine ochiului p, iar sensul de referinta al ochiului nu coincide cu sensul conventional al curentului

(este opus);

cand latura k nu apartine ochiului p

Matricea [E] a t.e.m. din laturile retelei este o matrice vector - coloana de dimensiuni  L X 1. Matricea [B]_t este transpusa matricei [B].