Pierderea stabilitatii laterale a grinzilor

F.1 Momentul critic elastic

Momentul critic elastic pentru pierderea stabilitatii laterale a unei grinzi cu sectiune constanta si simetrica avand talpile egale, cu legaturi de tip standard la ambele extremitati si la care incarcarea actioneaza in planul vertical ce trece prin centrul de forfecare al sectiunii rezulta din urmatoarea relatie:

unde:

C₁ se obtine din Anexa F, tabelul F1.1 si F1.2 din EUROCODE 3 ENV 1993-1-1 pentru k=1,0

I_t este momentul de rasucire libera al sectiunii transversale

I_w este momentul de rasucire impiedicata a sectiunii transversale

I_z este momentul de inertie al sectiunii transversale dupa axa minima de inertie

L este dinstnta dintre punctele de prindere laterala a grinzii

Conditiile standard de prindere la extremitatile grinzii sunt urmatoarele:

Impiedica deplasarea laterala a sectiunii transversale

Impiedica rotirea sectiunii transversale in jurul axei longitudinale a grinzii

Permit rotirea sectiunii grinzii in plan orizontal

Pentru informatii suplimentare in legatura cu aceste aspecte, vezi Anexa F a ENV 1993-1-1

F.2 Zveltetea grinzii

Generalitati

Zveltetea relativa redusa a grinzii, utilizata in calculul de pierdere a stabilitatii laterale rezulta din urmatoarea formula:

unde:

(unde f_y se exprima in N/mm²)

pentru sectiuni transversale de Clasa 1 sau de Clasa 2

pentru sectiuni eficace de Clasa 2 (conform Anexei E)

NOTA: In conformitate cu prevederile EUROCODE 4, daca inima sectiunii transversale (si deci sectiunea transversala in sine) este de Clasa 3, ea poate fi tratata ca o sectiune eficace de Clasa 2 considerand zona centrala a portiunii comprimate a inimii ca scoasa din lucru. Zona activa pe inaltimea comprimata a inimii de grosime "t" se considera formata din doua portiuni de lungime 20t dispuse adiacent talpii comprimate respectiv adiacent axei neutre a sectiunii.

Zveltetea redusa (l_LT ) a grinzii utilizata in calculul de pierdere a stabilitatii laterale se obtine, indiferent de clasa sectiunii transversale, din formula:

Sectiuni transversale simetrice dupa ambele axe

In cazul grinzilor cu sectiune simetrica dupa ambele axe, in cazurile de incarcare cu moment ccentrul de forfecare al sectiunii transversale, daca grinda nu are extremitati fixe, valoarea (l_LT ) rezulta din formula:

care se mai poate scrie si sub forma urmatoare:

unde :

Pentru o sectiune transversala I sau H de inaltime "h" si cu grosimea talpii t_f fara reborduri la extremitatile talpilor:

cu:

Pentru o sectiune simetrica dupa ambele axe, valoarea (i_LT) rezulta din relatia:

sau in forma simplificata (cu o mica aproximare):

unde s-a notat cu "t_w" grosimea inimii grinzii.

Aproximatii ale zveltetii reduse utilizate in cazul sectiunilor I sau H laminate

Pentru grinzi cu sectiuni I sau H laminate simetrice dupa ambele axe, solicitate prin momente concentrate aplicate la extremitati sau prin forte concentrate aplicate in planul vertical ce trece prin centrul de forfecare al sectiunii transversale, se poate utiliza urmatoarea formula aproximatixa acoperitoare pentru calculul zveltetii reduse:

sau:

Aproximatii ale zveltetii reduse pentru alte tipuri de sectiuni I sau H

Pentru grinzi cu sectiune transversala I sau H de orice tip, simetrica dupa ambele axe si care nu prezinta reborduri la extremitatile talpilor, incarcate cu momente concentrate aplicate la extremitati sau cu forte concentrate aplicate in planul vertical ce trece prin centrul de forfecare al sectiunii, fara fixari la extremitati, se poate utiliza urmatoarea formula acoperitoare pentru calculul zveltetii reduse:

F.3 Pierderea stabilitatii laterale a barelor incastrate la extremitati, avand talpa comprimata nelegata

F.3.1Generalitati

Aceasta sectiune se ocupa de pierderea stabilitatii laterale a elementelor metalice sau a portiunilor de elemente metalice cu incastrari la extremitati din punct de vedere al rasucirii, la care talpa intinsa este legata in puncte intermediare insa talpa comprimata este libera. (vezi Fig. F1)

Figura F1 - Bare incastrate la extremitati cu o talpa nelegata

Legenda:

* = Reazeme incastrate pentru rasucire la  nivelul ambelor talpi

X = Legaturi laterale dispuse la talpa intinsa

F = Forta axiala (acolo unde exista)

M = Moment concentrat direct aplicat (in ambele sensuri)

A-A = Axa de referinta

B-B = Axa elementelor de prindere laterala

Lt = Lungimea libera corespunzatoare

ENV 1993-1-1 cere sa se prevada legaturi laterale atat la talpa intinsa cat si la talpa comprimata in zonele de aparitie a articulatiilor plastice sau daca acest lucru nu este posibil cel putin la distanta D/2 de pozitia articulatiei plastice unde prin "D" s-a notat inaltimea sectiunii transversale a elementului. Prinderea este obligatorie pentru toate articulatiile in care apare rotire la valori ale incarcarii aferente starii limita ultime, inclusiv articulatii care se formeaza, se rotesc si apoi se opresc din rotire o data cu dezvoltarea altor articulatii plastice.

In zonele invecinate articulatiilor plastice, elementele vor fi verificate din punct de vedere al capacitatii de rotire plastica in conformitate cu Anexa D.4 daca aceste zone sunt situate intre legaturile intermediare si in conformitate cu anexa F.3.5 daca zonele sunt situate intre legaturi incastrate la torsiune.

Elementele care nu formeaza articulatii plastice vor fi verificate in conformitate cu recomandarile din Sectiunea 5.5 a ENV 1993-1-1 in zonele situate intre legaturile intermediare aplicate la talpa intinsa si respectiv conform recomandarilor din Sectiunea 5.5 modificate in cadrul acestei anexe in zonele situate intre prinderi incastrate pentru torsiune. Acolo unde prevederile Sectiunii 5.5.4 din ENV 1993-1-1 nu sunt satisfacute datorita prezentei momentelor si fortelor axiale ce produc solicitari apropiate de rezistenta plastica a sectiunii, stabilitatea elementului respectiv se va verifica conform Anexei F.4

In cazul barelor cu sectiune variabila, respectiv al barelor cu vute nu se accepta aparitia articulatiilor plastice in zonele variabile si se vor prevedea legaturi laterale la nivelul coltului interior al cadrului. Daca in aceasta zona apare o articulatie plastica, rigiditatea elementului de prindere prevazut va satisface cerintele specifice.

F.3.2 Elemente de baza

Elemente cu sectiune constanta

In cazul elementelor cu sectiune constanta, avand sectiunea transversala simetrica in raport cu axa minima de inertie, sarcina critica elastica pentru compresiune axiala, N_cr, pentru conditii standard de legatura (vezi mai jos) a fost determinata de Horne si Ajmani si are expresia:

unde:

cu urmatoarele notatii:

I_t = momentul de rasucire libera

I_z = momentul de inertie minim

I_w = momentul de rasucire impiedicata care se obtine cu relatia

L_t = este lungimea dintre punctele de legare laterala a ambelor talpi conform Fig. F1

a = este distanta dintre axa elementelor de legare laterala (de exemplu axa centrelor de greutate ale panelor) si centrul de taiere al sectiunii riglei (vezi Fig. F.2)

h = este inaltimea sectiunii transversale a riglei

h_s = este distanta dintre centrele de taiere ale talpilor

In cazul grinzilor cu sectiuni transversale simetrice sau aproximativ simetrice dupa ambele axe principale de inertie si la care a = 0,75h se lucreaza cu a

Figura F.2 - Axa elementelor de legatura si axa elementului verificat

Legenda:

* = Legaturi ale ambelor talpi din punct de vedere al torsiunii

X = Legaturi laterale la o singura talpa

A - A = Axa elementului verificat

B - B = Axa elementelor de legatura

a = Distanta dintre axa elementului verificat si axa elementelor de legatura

L_t = Lungimea pe care se verifica bara

In cazul elementelor cu sectiune uniforma, avand sectiunea transversala simetrica in raport cu axa minima de inertie, cu prinderi de tip standard (vezi mai jos), momentul critic elastic M_cr0 pentru pierderea stabilitatii laterale a elementului in cazul unei solicitari prin moment incovoietor uniform rezulta din formula:

Conditiile standard de prindere, prezentate in figura F.1 sunt urmatoarele:

(i)      La extremitatile portiunii verificate de element, avand lungimea L_t

Deplasarea laterala a sectiunii este impiedicata

Rotirea sectiunii in jurul axei longitudinale este blocata

Rotirea sectiunii transversale in plan orizontal este permisa

(ii)    Pe lungimea talpii intinse in zona verificata:

Deplasarea laterala este blocata

Rotirea sectiunii dupa toate axele este permisa

Legaturile prevazute la talpa intinsa nu trebuie sa fie continue, cu conditia ca elementul verificat sa nu isi piarda stabilitatea laterala intre aceste prinderi in ipoteza ca ar avea legaturi laterale la ambele talpi in punctele respective.

Bare cu sectiunea variabila si bare cu vute

In cazul barelor avand sectiuni cu talpi de latime si grosime constanta, simetrice dupa axa minima de inertie, valorile critice N_cr si M_cr0 se calculeaza conform Sectiunii F.3.2.1 insa cu urmatoarele modificari:

Pentru definirea distantei "a" dintre axa elementelor de legatura (de exemplu axa centrelor de greutate ale panelor) si centrul de forfecare al sectiunii grinzii, trebuie precizata valoarea inaltimii sectiunii transversale a sectiunii variabile la care se face referinta. Pentru si daca se utilizeaza coeficientii "c" din Sectiunea F.3.3, se va lucra cu centrul de forfecare al sectiunii transversale minime conform figurii F.2. In toate celelalte cazuri se va lucra cu centrul de forfecare al sectiunii transversale maxime.

F.3.3 Formula momentului critic elastic

In cazul sectiunilor transversale simetrice in raport cu axa minima de inertie si avand talpi cu sectiune uniforma:

unde M_cr0 este definit in sectiunea F.3.2

In cazul grinzilor cu sectiune variabila sau cu vute, M_cr0 se calculeaza pe baza sectiunii transversale minime.

In cazul grinzilor cu sectiune variabila la care ,daca nu se adopta solutii mai precise, coeficientul "c" se va lua egal cu 1,0 si se va lucra cu valoarea maxima care se obtine de obicei pentru sectiunea cu inaltime maxima.

In cazul barelor cu talpa interna (a treia talpa care apare de obicei la profilele europene cu vuta sudata) se va lucra conform Sectiunii F.3.2 utilizand I_w si I_z calculate cu ignorarea talpii interne iar I_t calculat cu luarea in considerare a acestei talpi. Notatiile "m_t"si "c" din formula momentului critic se definesc mai jos.

Factorul momentului echivalent uniform m_t in cazul grinzilor cu inaltime constanta de sectiune si fara incarcari intermediare intre legaturile de la extremitati

Acest caz nu apare prea des deoarece cazurile de incarcare acoperite de ENV 1993-1-1 se refera la incarcari aplicate simultan. Din acest motiv, in aproape toate cazurile de incarcare, panele acoperisului sau riglele de perete vor introduce prin reazemele lor forte concentrate intermediare provenite din greutatea proprie a inchiderilor si din vant. Aceste forte concentrate sunt incarcari intermediare, asa incat metoda prezentata mai jos nu este direct aplicabila deoarece presupune o alura liniara (si nu poligonala) a diagramei de moment incovoietor intre cele doua extremitati ale elementului. Totusi, daca diagrama de momente reala poate fi aproximata printr-o diagrama cu alura liniara, acoperitoare din punct de vedere al stabilitatii laterale a grinzii, acest moment aproximativ poate fi fi utilizat pentru calculul lui m_t conform prezentei sectiuni.

Valorile momentului echivalent uniform m_t rezulta din tabelul F.1

In capul de tabel se utilizeaza notatia "y_t" care reprezinta raportul dintre valoarea minima si valoarea maxima a momentului. Valorile momentului care comprima talpa nelegata a grinzii se considera pozitive. Daca valoarea raportului rezulta valoarea raportului se va lua y_t=-1,0 conform celor indicate in Fig. 3

unde:

Ncr = este incarcarea critica elastica conform Sectiunii F.3.2

l_a = este zveltetea axiala l definita in Sectiunea F.3.2

Factorul momentului echivalent uniform m_t pentru toate celelalte cazuri

Pentru cazul general in care momentul incovoietor pe portiunea de bara verificata (cuprinsa intre punctele de impiedicare a torsiunii) nu prezinta o alura liniara, se poate aplica urmatoarea formula dedusa de Singh:

Tabelul F.1 Factorul momentului uniform m_t

Figura F.3 Valoarea lui y_t

Notatiile M_Sd1 pana la M_Sd5 corespund valorile momentelor aplicate la extremitatile portiunii verificate (unde se afla legaturile pentru torsiune), la sfert, la jumatate si la trei sferturi de lungime conform Figurii F.4. Se vor lua in considerare doar valorile pozitive M_Sd. Valorile lui M_Sd sunt pozitive atunci cand produc compresiune in talpa fara legaturi laterale.

Figura F.4 Valorile intermediare ale momentului incovoietor

Notatiile M_c.Rd1 pana la M_c.Rd5 corespund rezistentelor la incovoiere ale sectiunii transversale, in dreptul momentelor aplicate M_Sd1 pana la M_Sd5 mentionate mai sus.

Notatia m_SE rezulta din relatia:

unde:

este valoarea maxima intre

este valoarea maxima intre

Se vor lua in considerare numai valorile pozitive m_SE

Notatia reprezinta valoarea minima a rapoartelor calculate in punctele 1 pana la 5 unde:

pentru sectiuni transversale de Clasa 1 sau de Clasa 2 (vezi Sectiunea 5.4.5.2 din ENV 1993-1-1)

iar W_pl reprezinta fie modulul de rezistenta plastic al sectiunilor de Clasa 1 sau de Clasa 2 in raport cu axa y-y, fie W_ef.pl.y pentru vute ce corespund Anexei E.

Coeficientul "c" al sectiunii echivalente

In cazul grinzilor cu sectiune constanta, c=1,0

In cazul grinzilor cu sectiune I variabila avand si la care nu apar articulatii plastice pe lungimea verificata, c=c₀,

Unde c₀ rezulta din Tabelul F.2 furnizat mai jos:

Tabelul F.2 Coeficientul sectiunii echivalente "c₀"

Unde:

r = este raportul dintre inaltimile sectiunii transversale de la extremitatile portiunii verificate a grinzii su sectiune variabila sau cu vuta

d₁ = este distanta minima intre centrele de greutate ale talpilor externe (vezi Figura F.2)

d₂ = este distanta maxima dintre centrele de greutate ale talpilor externe (vezi Figura F.2)

D = este inaltimea minima a sectiunii transversale de la extremitatile portiunii verificate

t_f = este grosimea medie a talpilor externe

A se observa ca c₀ este valabil numai pentru . In cazul cand pierderea stabilitatii laterale poate fi verificata utilizand valoarea maxima care apare de obicei la extremitatea barei cu inaltime de sectiune maxima, daca aceasta bara are latime de talpa constanta si nu prezinta salturi de grosime pentru inima sau talpi.

In cazul grinzilor cu vuta, de sectiune I, care respecta conditia si la care nu apar articulatii plastice pe portiunea verificata se lucreaza cu coeficientul:

unde: "q" reprezinta raportul dintre lungimea vutei si lungimea intregului element.

F.3.4 Zveltetea elementelor

se defineste in cadrul Sectiunii 5.5.1.2(1) din ENV 1993-1-1 pe baza valorii Ncr dedusa in conformitate cu paragraful F.3.2

se defineste in Sectiunea 5.5.2(5) din ENV 1993-1-1 sau in pragraful F.2.1 in conformitate cu valoarea Mcr conform F.3.3

De retinut ca pentru cazurile cu , cand se lucreaza cu factorii "c" din F.3.3, centrul de forfecare al sectiunii transversale se ia pentru sectiunea cu inaltime minima a barei, insa in cazurile cu calculele se raporteaza la sectiunea cu inaltime maxiama barei iar factorul "c" se ia egal cu 1,0.

Zveltetea axiala a barei l rezulta din formula:

Zveltetea grinzii l_LT rezulta din formula:

unde "l" este zveltetea axiala a elementului, definita mai jos in mod acoperitor prin relatia:

F.3.5 Stabilitatea zonelor invecinate articulatiilor plastice

Pentru asigurarea unei capacitati adecvate de rotire a articulatiei plastice, trebuie limitata zveltetea elementelor de grinda adiacente acesteia in scopul evitarii pierderii premature a stabilitatii laterale. Aceste elementele cu sectiune variabila, verificate conform paragrafului F.3, nu vor include alte articulatii plastice pe lungimea lor aceasta fiind o conditie de aplicabilitate a formulei Horne. Verificarea se face cu formula:

unde "L" este distanta dintre legaturile pentru torsiune ale sectiunii grinzii (vezi Sectiunea F.4)

F.4 Deducerea lungimii elementului stabil de grinda

In cele ce urmeaza se deduce lungimea elementului stabil de grinda, intr-o forma acoperitoare, corespunzatoare cazurilor in care este prezenta si forta axiala. Formula de mai jos ia totusi in considerare si interactiunea forta axiala - moment incovoietor, pentru toate situatiile posibile , conducand la valorile zveltetilor relative reduse si respectiv , ceea ce este in concordanta cu prevederile EC.3.

Aceasta formula adopta o combinatie a eforturilor de tip linear, deoarece formula de interactiune a compresiunii axiale si a momentului incovoietor pentru cazurile de zveltete redusa a elementului este adoptata in forma lineara in cadrul Sectiunii 5.5.4 a ENV 1993-1-1. In acest mod prezenta procedura de verificare respecta principiile EC.3.

Zveltetile relative reduse limita din EC.3 sunt:

Se calculeaza:

Cand zveltetile relative reduse sunt egale cu zveltetile limita admise de ENV 1993-1-1, adica :

si atunci relatia de mai sus se reduce la:

Pentru a obtine o expresie ce necesita mai putine calcule, se scrie:

Luand L_LT=L_z=L = distanta dintre punctele de prindere ale grinzii:

si

Sectiunea 5.5.2(7) din ENV 1993-1-1 defineste limita de zveltete stabilitate pentru pierderea de stabilitate laterala prin incovoiere rasucire la valoarea si respectiv pentru pierderea stabilitatii laterale prin incovoiere la valoarea

In consecinta, pentru calculul lungimii stabile a L elementului de grinda, se ia:

si rezulta:

Scriind:

C₁ poate fi luat in mod acoperitor ca egal cu 1,0

i_LT pentru cazul sectiunilor laminate la cald poate fi luat egal cu