Performantele sistemelor dinamice liniare pe raspuns indicial

Obiectiv: Analiza calitatii raspunsului sistemelor dinamice liniare la intrarea de tip treapta unitara, pe baza performantelor de regim tranzitoriu (suprareglare, timp de raspuns, timp de crestere) si a valorii de regim stationar. Se considera doar cazul in care toti polii sistemului sunt cu parte reala strict negativa.

Breviar teoretic

1. Performantele sistemelor dinamice definite pe baza raspunsului indicial

1.1 Considerente teoretice

Un raspuns util pentru analiza sistemelor dinamice liniare este raspunsul indicial. Acest raspuns evidentiaza caracteristicile esentiale ale sistemului si este simplu de obtinut experimental.

Ipoteza de lucru: Se va presupune in continuare ca sistemul descris prin functia de transfer G(s) are toti polii cu parte reala strict negativa si ca factorul de amplificare este pozitiv ( G(0) > 0 ).

Faptul ca sistemul admite doar poli cu parte reala strict negativa, inseamna ca raspunsul indicial va tinde catre o constanta (regim permanent sau stationar). Aceasta constanta este egala cu G(0), conform teoremei valorii finale si, in baza ipotezei de lucru considerate, va fi pozitiva. In aceste conditii, pe raspunsul indicial se pot delimita doua regimuri de functionare:

- regim tranzitoriu - care se instaleaza imediat dupa aplicarea comenzii si pe durata caruia h(t) admite variatii mari;

- regimul permanent sau stationar - in care h(t) este aproximativ constant.

Pentru a aprecia convenabil calitatea raspunsului indicial este necesara definirea unor performante menite sa reflecte de o maniera simpla si sugestiva caracteristicile sistemului.

Vor fi considerate performante ale raspunsului indicial pentru caracterizarea regimului stationar si performante pentru caracterizarea regimului tranzitoriu. Pentru intelegerea utilitatii acestor perfomante, trebuie considerat faptul ca in functionarea sistemului comportarea dorita este, in general, cea din regimul permanent. Regimul tranzitoriu este inevitabil si, in general, nedorit. In acest context, performantele de regim tranzitoriu vor semnala principalele diferente dintre valorile raspunsului indicial caracteristice regimului tranzitoriu si valoarea aproximativ constanta a raspunsului, atinsa in regim permanent.

Performante de regim permanent

- valoarea de regim stationar sau permanent: h_st

= reprezinta constanta spre care tinde h(t)

Daca functia de transfer G(s) admite cel putin un pol  cu parte reala pozitiva, , atunci h_st nu exista! si teorema valorii finale nu se poate aplica.

Performante de regim tranzitoriu

timpul de raspuns: t_r

= reprezinta durata regimului tranzitoriu si marcheaza momentul de timp de la care se considera ca sistemul a intrat in regim permanent, adica h(t) devine aproximativ constant.

Convenabil: t_r mic

- timpul de crestere (t_c):

= reprezinta intervalul de timp necesar pentru ca valoarea raspunsului indicial sa creasca de la 0.05*h_st la 0.95 * h_st .

- sugereaza viteza de reactie a sistemului sub actiunea comenzii (cat de repede raspunsul sistemului atinge valori comparabile cu cele din regim permanent).

Convenabil: t_c mic.

- suprareglarea

= reprezinta o masura a maximului global admis de h(t), relativ la valoarea h_st (cat de mult se abate raspunsul sistemului de la valoarea h_st).

- Daca h(t) nu admite maxim, suprareglarea este 0.

Convenabil: suprareglare cat mai mica

Exemple care sa ilustreze importanta acestei performante:

Din considerente tehnologice, intrarea unui sistem trebuie sa se incadreze intre anumite limite impuse. Depasirea acestor limite poate provoca deteriorarea sistemului. Suprareglarea reflecta, in anumite situatii, gradul in care este respectata aceasta restrictie. De exemplu, considerand conexiunea serie din fig. 1 si presupunand ca la intrarea sistemului 1 actioneaza o intrare de tip treapta unitara, atunci suprareglarea pe raspuns indicial corespunzatoare sistemului 1 reprezinta o masura a valorii maxime obtinute pentru intrarea sistemului 2.

Fig. 1

Un alt caz in care respectarea acestei performante este critica: sistem de pozitionare a cutitului de aschiere a unei piese metalice. Acest sistem este comandat de o tensiune electrica (care actioneaza motorul folosit pentru deplasarea sculei aschietoare) si admite ca iesire distanta pe care s-a deplasat cutitul fata de pozitia initiala, distanta masurata pe directie verticala. In regim permanent cutitul trebuie sa fie langa piesa metalica (pozitia 2), pentru a putea prelucra adecvat piesa. Daca suprareglarea este diferita de zero, piesa se va strica (pozitia 3), deoarece acest lucru inseamna ca scula taietoare patrunde nepermis de mult in piesa metalica.

Fig. 2

Exercitii rezolvate (analitic)

Exercitiul 1

Fie sistemul dinamic liniar:

Sa se determine :

a) functia de transfer;

b) valorile: corespunzatoare raspunsului indicial;

c) raspunsul indicial si valoarea de regim stationar a acestuia.

d) performantele raspunsului indicial: eroarea stationara, suprareglarea si timpul de raspuns

Rezolvare:

a) Pentru conditii initiale nule:

b) Se aplica teorema valorilor initiale:

c) Pentru a afla valoarea de regim stationar a raspunsului indicial se foloseste teorema valorilor finale. Aceasta teorema pune la dispozitie urmatoarea egalitate:

in ipoteza ca exista si este finita . Ipoteza este satisfacuta, deoarece polii sistemului sunt -2 si respectiv -4 (au partea reala strict negativa). In consecinta, in aceasta situatie, aplicarea teoremei valorii finale este posibila.

Se calculeaza raspunsul indicial al sistemului si se verifica rezultatele obtinute anterior:

In fig.3a. este reprezentat grafic raspunsul indicial.

Se observa ca:

Fig. 3 a: raspunsul indicial pentru exercitiul 1;    b) raspunsul indicial pentru exercitiul 2

d) Se determina cateva din performantele raspunsului indicial:

Eroarea stationara:

Suprareglarea:

Timpul de raspuns:

Ar trebui continuata discutia separat pe cele  doua intervale: si . Pentru a simplifica rezolvarea problemei se poate folosi observatia:

- din definitia timpului de raspuns se stie ca: ;

- valoarea lui t pentru care raspunsul indicial admite valoarea maxima este 0.55;

- in punctul de maxim  , deci .

Se deduce ca solutia nu poate fi plasata in intervalul (0;0.2). Asadar relatiile se pot rescrie:

Convine solutia: .

Exercitiul 2:

Fie sistemul dinamic liniar:

a) sa se determine a, b astfel incat raspunsul indicial al sistemului sa admita valoarea initiala  si valoarea de regim stationar 1;

b) sa se determine in acest caz h(t) si sa se reprezinte grafic.

Rezolvare:

a) In conditii initiale nule:

Se cuvine facuta observatia: polul lui G(s) este -a. Acest pol este real negativ, deoarece a > 0 (din ipotezele problemei) , deci exista valoarea de regim stationar.

b)

Reprezentarea grafica a raspunsului indicial este prezentata in fig. 3b.

3. Determinarea performantelor raspunsului indicial folosind MATLAB

Fiind dat sistemul dinamic liniar descris prin functia de transfer

, (1)

raspunsului indicial poate fi obtinut prin simulare numerica, in MATLAB, astfel:

- se definesc vectorii:

num= [bm .. b0] - coeficientii polinomului Q(s) in ordinea descrescatoare a puterilor lui s;

den= [an .. a0] - coeficientii polinomului P(s) in ordinea descrescatoare a puterilor lui s;

t = [t1 t2 .tp] - vector de timp (vezi laboratorul precedent)

- se calculeaza raspunsul indicial:

h=step(num,den,t);

Se obtine ca rezultat un vector coloana (notat h) continand valorile raspunsului indicial calculate la momentele de timp precizate in vectorul timp

h = [h(t1) h(t2) . h(tp)]'

Sunt prezentate in continuare cateva modalitati de analiza a acestui rezultat, prin determinarea performantelor de regim tranzitoriu si permanent.

Se va presupune in continuare ca sistemul G(s) are toti polii cu parte reala strict negativa si ca factorul de amplificare este pozitiv ( G(0) > 0 ).

O prima posibilitate de evaluare a performantelor raspunsului indicial ar fi prin reprezentarea lui grafica cu ajutorul functiei plot:

plot(t,h);

Pentru evaluari mai exacte sunt oferite urmatoarele sugestii de lucru. Trebuie avut in vedere faptul ca valorile performantelor de regim tranzitoriu sunt afectate de precizia de simulare (lungimea pasului de simulare si a intervalului de simulare).

a) valoarea de regim stationar h_st

Folosind teorema valorii finale (care se va aplica doar pentru sisteme care admit doar poli cu parte reala strict negativa) se obtine:

hst=G(0)=b0/a0,

unde a0 este termenul liber din P(s) si b0 termenul liber din Q(s).

Valoarea de regim stationar se poate afla in Matlab astfel:

hst=num(length(num))/den(length(den))

Observatii:

- functia length(v): returneaza lungimea vectorului v.

- modalitatea de calcul indicata mai sus nu depinde de corectitudinea alegerii vectorului t, deoarece nu s-au obtinut rezultatele folosind vectorul h generat prin simulare.

b)suprareglarea

Suprareglarea (notata sigma) se poate calcula astfel:

if max(h)>hst,

sigma=100*(max(h)-hst)/hst;

else

sigma=0;

end;

Observatii:

- functia max(v)- returneaza elementul de valoare maxima din vectorul v; poate fi folosita si pentru argumente matrici (caz in care returneaza un vector ale carui elemente sunt egale cu valorile maxime de pe fiecare coloana a matricii argument).

- testul max(h)>hst precizeaza daca functia h admite maxim sau nu;

c)timpul de crestere reprezinta intervalul de timp necesar pentru ca raspunsul indicial sa creasca de la valoarea 0.05*hst la valoarea 0.95*hst.

Timpul de crestere poate fi determinat prin vizualizarea urmatoarei matrici:

[t' h/hst]

Observatii: s-a folosit t' pentru ca t este definit ca un vector linie, iar h este obtinut ca un vector coloana. Se vor citi:

- valoarea lui t (prima coloana din matricea [t' h/hst] pentru care se atinge prima valoare h/hst peste 0.05;

- cea mai mare valoarea a lui t pentru care h/hst<=0.95 (se va lua in consideratie prima crestere a lui h/hst peste valoarea de 0.95).

Diferenta intre cei doi timpi reprezinta valoarea timpului de crestere.

Se poate folosi, eventual, secventa de instructiuni Matlab indicata in continuare:

i=1; while (h(i)<hst*0.05),

i=i+1;

end;

j=i; while (h(i)<hst*0.95),

i=i+1;

end;

tcrest=t(i-1)-t(j);

d)timp de raspuns

Se poate determina prin inspectarea matricei [t' h/hst] si notarea valorii pentru care elementele din coloana h/hst se vor incadra din linia selectata pana la ultima linie din matrice in intervalul 0.98 - 1.02 sau 0.95-1.05.

Este esentiala alegerea suficient de mare a intervalului de simulare, pentru ca h sa contina valori suficient de multe din regimul permanent.

Pornind de la ideea ca intervalul de simulare este ales suficient de lung, astfel incat sa fie surprins si regimul permanent de functionare, ultimele elemente din vectorul h vor descrie regimul permanent de functionare si, in consecinta, h/hst va fi cuprins intre 0.98 si 1.02.

Se poate folosi, eventual, secventa de instructiuni Matlab indicata in continuare:

i=length(t);

while abs(h(i)-hst)<hst*0.02,

i=i-1;

end;

t(i+1)

S-a preferat parcurgerea vectorului h de la tf la t0, deoarece regimul permanent este reprezentat in general pe mai putine puncte decat regimul tranzitoriu.

4. Probleme propuse

Problema 1

Fie sistemul mecanic din fig. 4.  Un corp de masa M este suspendat printr-un sistem de 2 amortizoare hidraulice, un resort elastic si un corp de masa m. Marimea de intrare este considerata forta F aplicata asupra corpului de masa M, iar iesirea viteza imprimata acestui corp.

Modelul acestui sistem este:

Calculati, folosind simularea numerica, performantele pe raspunsul indicial in cazurile:

a) m= 10; M= 30; f₁= f₂= 1; k= 1;

b) f₁= 0 (lipseste amortizorul hidraulic f₁), M= m, restul valorilor de la punctul a);

c) f₁=0, restul valorilor de la punctul a).

Precizati care parametri constructivi influenteaza valoarea de regim stationar. Precizati, in cele trei cazuri, care sunt polii si zerourile sistemului. Apreciati daca raspunsul sistemului este oscilant. Cand se obtine timpul de crestere aproximativ egal cu timpul de raspuns?

Problema 2

Fie sistemul dinamic liniar :

Calculati analitic si prin simulare numerica performantele: hst, suprareglare si timp de raspuns pentru raspunsul indicial.