Optimizari dinamice

Optimizari dinamice

Optimizarea regimurilor dinamice a fost caracteristica atumaticii inca de la inceputurile aplicatiilor practice ale acesteia, intrucat intr-o forma sau alta proiectarea unui sistem automat trebuie sa includa anumite elemente de optimizare a regimurilor tranzitorii, in caz contrar existand pericolul ca functionarea sistemului sa fie necorespunzatoare si ca urmare sa rezulte o calitate nesatisfacatoare a produselor obtinute din instalatia tehnologica automatizata, o uzura accelerata a acestei instalatii sau o exploatare nerationala etc.

Dupa cum se stie, in cazul sistemelor de reglare automata regimurile tranzitorii (care pot fi denumite si regimuri dinamice) sunt provocate de variatiile marimii de intrare a sistemului - numita si marime de referinta - sau de variatiile unor perturbari [3, 4].

In cazul cel mai simplu al unui sistem de reglare automata in functie de iesire, monovariabil (cu o singura marime de referinta si o singura marime reglata), liniar si continuu, schema de elemente are aspectul din figura 1.12, unde RA este regulatorul automat, EE - elementul de executie, IT - instalatia tehnologica, Tr - traductorul, - perurbarile care actioneaza asupra insalatiei tehnologice.

Sistemele de reglarein functie de iesire au fost primele folosite in practica industriala si se utilizeaza cu succes teoria reglarii in functie de stare [3, 4].

Grupand elementele EE, IT si Tr intr-un singur bloc echivalent F rezulta pentru schema de elemente aspectul din figura 1.13, unde F este blocul echivalent al partii fixate a sistemului ("fixate" in sensul ca pentru a influenta performantele sistemului proiectantul automatizarii are foarte putine posibilitati de a modifica parametri din blocul F, in raport cu posibilitatile de a alege structura si parametrii regulatorului automat), ε - eroarea, u - marimea de comanda, y - marimea reglata, respectiv marimea de iesire a sistemului, iar RA, au aceleasi semnificatii ca in figura 1.12.

Regimul tranzitoriu al marimii reglate y, provocat de o variatie treapta unitara a marimii de referinta , are aspectul din figura 1.14 (in ipoteza ca in regim stationar , deci in ipoteza unei valori nule a erorii stationare , intrucat - conform figurii 1.13 - , deci ), iar regimul tranzitoriu provocat de o variatie treapta a unei perturbari are aspectul din figura 1.15, in aceeasi ipoteza.

Considerand schema din figura 1.13, din care se obtine

(1.3)

rezulta ca din curbele din figurile 1.14 si 1.15 se obtin aspectele variatiilor in timp corespunzatoare ale erorii ε din figurile 1.16 si 1.17.

In cazul raspunsului la variatia treapta unitara pozitiva a marimii de referinta (fig. 1.14) regimul tranzitoriu indeal al marimii reglate y ar fi cel in care marimea reglata ar urmari fidel - si deci instantaneu - variatia marimii de referinta, deci pentru marimea y ar rezulta tot o treapta unitara pozitiva; ca urmare din figurile 1.14 si 1.16 rezulta ca aria delimitata de curba ε din figura 1.16 ar trebui sa tinda catre zero.

O asemenea comportare ideala nu este posibila, intrucat transmiterea variatiei marimii de referinta spre iesirea sistemului se efectueaza cu anumite intarzieri inerente cu cat insa aria mentionata anterior va fi mai mica, cu atat regimul tranzitoriu se va apropia de cel ideal. Acest considerent a condus la ideea alegerii unui criteriu de optimizare dinamica legat de minimizarea ariei respective.

Valoarea ariei este definita de integrala

(1.4)

dar aceasta expresie nu poate fi folosita in calitate de criteriu, deoarece ordonatele marimii ε pot interveni cu semne diferite si deci o valoare redusa pentru I nu atesta prezenta unui regim tranzitoriu de calitate buna.

Acest inconvenient poate fi eliminat pe mai multe cai. Cea mai simpla consta in adoptarea unui criteriu de optimizare de forma

(1.5)

minimizarea acestui criteriu integral patratic asigurand un optim pentru regimul tranzitoriu in sensul obtinerii unei anumite apropieri dorite de regimul ideal.

In cazul raspunsului la perturbare (fig. 1.15) regimul tranzitoriu ideal ar fi cel in care marimea reglata y nu ar fi deloc influientata, pastrandu-si neschimbata valoarea anterioara variatiei perturbarii p. Ca urmare, dupa cum rezulta din figurile 1.15 si 1.17, se constata ca si in acest caz regimul tranzitoriu va fi cu atat mai apropiat de cel ideal, cu cat va fi mai mica aria delimitata de curba ε din figura 1.17.

In consecinta raman valabile considerentele care au condus la expresia unui criteriu de optimizare de forma (1.5), deci la adoptarea criteriilor integrale patratice.

Minimizarea criteriilor integrale mentionate conduce la valori optime ale parametrilor regulatorului automat, care asigura un indice sintetic de calitate a regimului tranzitoriu, in sensul ca nu pot asigura anumite performante specificate separat pentru acest regim, cum ar fi valoarea suprareglakului (figurile 1.14 si 1.16), valoarea abaterii maxime (figurile 1.15 si 1.17), amortizarea oscilatiilor - definita de rapoartele sau - sau durata regimului tranzitoriu.

Pentru obtinerea unei asemenea performante specificate separat pot fi alese criterii de optimizare de alta forma, de exemplu de forma

(1.6)

minimizarea acestui criteriu conduce la parametrii regulatorului care asigura cea mai buna amortizare a oscilatiilor.

In multe cazuri criteriile integrale patratice au un obiectiv combinat, urmand nu numai optimizarea regimului tranzitoriu, ci o optimizare care reprezinta un compromis intre atingerea primului obiectiv (calitate buna a regimului tranzitoriu) si a celui de al doilea obiectiv; de cele mai multe ori in practica acest al doilea obiectiv vizeaza reducerea consumului de energie pentru realizarea actiunii de reglare automata, respectiv pentru comanda deplasarii elementului de executie.

Reducerea acestui consum poate fi obtinuta prin adoptarea unui criteriu integral patratic de forma

(1.7)

- unde u este marimea de comanda de la iesirea regulatorului automat RA (fig. 1.13) - intrucat marimea u este un curent electric sau o tensiune, cum este cazul regulatoarelor electrice.

Compromisul intre obiectivele referitoare la regimul tranzitoriu si la consumul de energie se realizeaza usor, adoptand un criteriu combinat, de forma

(1.8)

unde ρ este un factor de ponderare.

Expresia (1.8) ilustreaza unul din cele mai simple cazuri de optimizare dupa mai multe criterii, denumita "polioptimizare".

In stadiul actual de dezvoltare a instalatiilor tehnologice, care au atins un grad de complexitate foarte ridicat, necesitatea polioptimizarii intervine intr-un numar din ce in ce mai mare de probleme de optimizare.

Un exemplu imediat poate fi oferit de un sistem de reglare automata multivariabil, cu doua marimi de referinta si si cu doua marimi reglate si , avand schema din figura 1.18. In cadrul regulatorului automat intervin blocurile si , care primesc erorile si ale celor doua bucle, iar in cadrul partii fixate F intervin blocurile si , ultimile doua reprezentand caile de transmiterea actiunilor de interinfluienta [16].

Se constata ca in calitate de criteriu integral patratic pentru optimizare poate fi folosita expresia

(1.9)

In multe cazuri, in criteriile integrale patratice pentru optimizarea regimurilor tranzitorii intervin si derivate ale erorii [3, 4].

Criteriile integrale patratice se formuleaza si in limbajul intrare-stare-iesire, care descrie functionarea sistemului prin intermediul ecuatiilor de stare.

(1.10)

unde x este vectorul starilor, iar u este de regula vectorul comenzilor dar poate defini si un set de parametri [22].

Exemple care ilustreaza formularea criteriilor integrale in limbaj intrare-stare-iesire sunt reprezentate de expresiile

(1.11)

(1.12)

unde x, u, y sunt vectorii starilor, comenzilor si marimilor de iesire (reglate); , R - matrice de ponderare.

Aspectul criteriilor integrale prezentate anterior rezulta din doua ipoteze prealabile, Prima, pusa in evidenta de figurile 1.14 . 1.17 consta in considerarea conditiei de eroare stationara nula.

(1.13)

iar a doua - rezultand din expresiile (1.5), (1.7), (1.8), (1.9), (1,11) - consta in faptul ca nu se impune la un moment final si ca urmare acest moment reprezinta limita superioara a operatiei de integrare, iar uneori se impune si o anumita valoare a variabilelor pentru momentul . Astfel, pentru ilustrare, se considera un motor electric - comandat prin intermediul tensiunii de excitatie - si se urmareste gasirea comenzii optime u (reprezentand tensiunea aplicata circuitului de excitatie) pentru ca sa rezulte o variatie cat mai apropiata de o treapta, a pozitiei unghiulare θ a arborelui de la o valoare initiala considerata 0 radiani la o valoare finala de 10 radiani, impunandu-se un timp final si deci o valoare finala rad [22].

Pentru obtinerea comenzii optime se poate filosi in acest caz un criteriu integral de forma

(1.14)

unde

- momentul initial, cand are loc aplicarea comenzii u;

- factori de ponderare.

Primul termen al sumei din (1.14) prezinta analogii cu expresia (1.8), intrucat

(1.15)

valoarea de 10 radiani fiind valoarea prescrisa pentru variatia pozitiei unghiulare θ

Introducerea celui de-al doilea termen are ca obiectiv sa asigure si o minimizare a diferentei dintre pozitia unghiulara finala - la care se va ajunge efectiv - si pozitia finala prescrisa, de 10 radiani; folosirea patratului diferentei din al doilea tremen are acelasi scop cu folosirea la patrat a integranzilor din primul termen, respectiv de a elimina efectele nedorite ale variatiei semnului diferentei mentionate.

In al treilea termen intervine patratul valorii derivatei la monentul final ; daca regimul tranzitoriu se incheie pana la acest moment final impus, atunci pozitia unghiulara ajunge la valoarea constanta de 10 radiani si deci

(1.16)

Introducerea celui de-al treilea termen in expresia (1.14) are ca obiectiv sa asigure si o minimizare a valorii derivatei la momentul final , pentru acest moment fiind prescrisa o valoare nula a derivatei respective.

Folosirea unui criteriu integral de tipul (1.14) permite nu numai obtinerea unui regim tranzitoriu de buna calitate - prin termenul integral din (1.14) - ci si obtinerea unei comportari bune la intrarea in noul regim stationar, prin intermediul celorlalti doi termeni din (1.14).

Aplicarea puternicei metode de optimizare pe care o reprezinta criteriile integrale este tratata in capitolele urmatoare pentru sistemele liniare.