Obtinerea functiei criteriu in limbaj intrare-iesire

Obtinerea functiei criteriu in limbaj intrare-iesire

Importanta criteriilor integrale pentru optimizarea dinamica a sistemelor automate a fost prezentata in capitolul 1. In urmatoarele capitole sunt ilustrate obtinerea functiei criteriu si determinarea solutiei optime in cazul descrierii comportarii sistemelor automate in limbaj intrare-iesire (capitolele 2 si 3) si determinarea solutiilor optime in cazul folosirii limbajului intrare-stare-iesire(capitolele 4, 5 si 6).

1. Principalele tipuri de criterii integrale

Limbajul intrare-iesire se utilizeaza in cazul schemelor clasice de treglare automata in functie de marimile de iesire, de tipul schemei din figura 1.13, cu blocul de reglare RA instalat pe calea directa (spre deosebire de schemele moderne de reglare in functie de stare, unde blocul de reglare este instalat pe reactiile in functie de stare, unde blocul de reglare este instalat pe reactiile in functie de stare, ca in subcapitolul 5.3).

Dupa cum s-a specificat in paragraful 1.2, criteriile integrale pot asigura optimizarea regimurilor dinamice provocate atat de variatii ale marimii de referinta, cat si de variatii ale perturbatiilor.

Cele mai utilizate criterii integrale sunt cele patratice, de forma (1.5)

(1)

functia criteriu (1) reprezentand integral patratului erorii(in limba engleza "integral of error squared" ISE).

Eliminarea influientei nedorite a semnului erorii ε asupra valorii functiei criteriu poate fi obtinuta si prin utilizarea unei integrale de forma

(2)

functia criteriu (2) reprezentand integral valorii absolute a erorii (in limba engleza "integral of absolute error" IAE).

Daca in (2) se introduce o ponderare cu valoriile timpului t, se obtine functia criteriu

(3)

reprezentand integral produsului dintre timp si valoarea absoluta a erorii (in limba engleza "integral of time multiplied by absolute error" ITAE).

Minimizarea functiei criteriu - din (1) - asigura un regim tranzitoriu de calitate buna pentru limitarea valorilor erorii ε. Calitatea regimului tranzitoriu devine mai buna daca o data cu limitarea valorilor erorii ε se asigura si o limitarea a valorilor derivatei , deoarece in acest caz variatia erorii nu poate avea pante mari si ca urmare se evita suprareglaje ridicate (vezi figura 1.14). Limitarile mentionate pot fi asigurate de un criteriu patratic de forma

(4)

unde T este o constanta de timp care pondereaza contributia celui de-al doilea termen.

Prin considerarea derivatelor de ordin superior se obtine un criteriu de forma

(5)

unde sunt factori de ponderare.

Daca pe langa o calitate buna a regimului tranzitoriu se urmareste si reducerea consumului de energie pentru reglare, atunci functia criteriu capata aspectul (1.66), respective

(6)

Unde ρ este un factor de ponderare;

u - marimea de comanda.

Trecand la limbajul intrare-stare-iesire, combinarea unor criteria de forma (5) si (6) conduce la functia criteriu

(7)

unde x este vectorul de stare;

u - vectorul marimilor de comanda (in cazul general al unei intalatii tehnologice multivariabile);

Q,R - matrice de ponderare.

Daca se impune si un anumit timp final pentru incheierea regimului tranzitoriu si intrarea in noul regim stationar, atunci prin adougarea unui termen suplimentar in (7) se obtine o functie criteriu de tipul (1.72):

(8)

unde este momentul initial, cand se aplica comanda u;

S - matrice de ponderare.

Dupa cum s-a mentionat in paragraful 1.2, termenul integral din criteriul asigura o buna calitate a regimului tranzitoriu, iar al doilea termen asigura o comportare buna la intrarea in noul regim stationar, in momentul , deci cand este importanta obtinerea egalitatii

,

sau in cazul cand pentru o anumita variatie a marimii de referinta se urmareste ca vectorul marimilor de iesire (in cazul general, al sistemelor multivariabile) sa aiba o anumita variatie dorita , atunci functia criteriu poate fi exprimata sub forma

(9)

unde , R si S sunt matrice de ponderare.

Termenul integral - prezentand anumite analogii cu (1.70) - asigura calitatea regimului tranzitoriul; termenul al doilea asigura comportarea dorita la intrarea in noul regim stationar, in momentul .

Folosirea criteriilor , formulate in limbajul clasic intrare-iesire, presupune cunoscuta structura blocului de reglare (de regula un bloc de reglare tipizat) amplasat pe calea directa, ca in figura (1.13), iar prin minimizarea criteriului amplasat pe calea directa se obtin valorile optime ale parametrilor regulatorului. Utilizarea acestor criteria are avantajul ca necesita numai eroarea ε derivatele ale acesteia si marimea de comanda u, deci numai marimi usor masurabile.

Folosirea criteriilor , sunt formulate in limbajul modern intrare-stare-iesire, nu presupune adoptarea unei structure tipizate pentru blocul de reglare, dar necesita cunoasterea tuturor componentelor vectorului de stare x; intrucat acestea nu pot fi totdeauna masurate, poate devein necesara introducerea unor estimatoare de stare [1,3].

Criteriul este formulat atat in functie de iesirile y, cat si de starea x.

Aspectul criteriilor integrale in limbaj intrare-stare-iesire pentru cazul sistemelor discrete este prezentat in subcapitolul 5.5 si in capitolul 9.

Obtinerea functiei criteriu prin relatii directe

Expresiile unor functii criteriu pot fi obtinute direct, pornind de la functia de transfer a sistemului si de la transformata Laplace a marimii de referinta sau a perturbarii. Posibilitatea unor relatii directe de acest tip poate fi ilustrata pentru criteriul din (1) avand loc relatia [1]:

(10)

Presupunand ca aparitia regimului tranzitoriu a fost determinate de o variatie a marimii de referinta , au loc relatiile [1]

(11)

unde H(s) si sunt functiile de transfer ale sistemului (cu bucla deschisa si cu bucla inchisa, in ipoteza reactiei principale directe) in raport cu marimea de referinta.

Intrucat structura blocului de reglare este presupusa cunoscuta, functiile de transfer H(s) si pot fi determinate usor si contin parametrii regulatorului automat sub forma unor variabile.

Inlocuind (11) in (10) se obtine

(12)

In ceea ce se priveste marimea de referinta , se presupune ca aceasta are o variatie treapta unitara, respectiv

(13)

deci

(14)

Considerarea unei variatii treapta a marimii de referinta se bazeaza pe constatarea ca daca optimizarea parametrilor regulatorului asigura o comportare buna a sistemului in regimurile tranzitorii provocate de acest tip de semnale, atunci este asigurata o comportare buna si in regimurile tranzitorii provocate de alte tipuri de variatii ale marimilor de referinta.

Daca in locul bunei calitati a regimurilor tranzitorii provocate de modificarea valorilor marimilor de referinta se urmareste o calitate buna a regimurilor tranzitorii provocate de perturbari, atunci se considera = 0 si si se calculeaza functia de transfer in raport cu perturbarea [1], rezultand pentru transformata Laplace Y(s) a marimii de iesire y expresia

(15)

Pe de alta parte

(16)

intrucat s-a considerat - deci din (15) si (16) rezulta

(17)

Inlocuirea acestei expresii in (10) permite ca pentru criteriu sa se obtina o relatie corespunzatoare in locul expresiei (12), parametrii regulatorului intervenind sub forma unei variabile.

Din (10) si (12) se constata ca criteriul poate fi exprimat in functie de transformata Ԑ(s) sau in functie de functia de transfer si de transformata W(s) din (14). Asemenea relatii au fost stabilite [2,1] pornind de la forma generala a transformatei erorii

(18)

Se poate verifica usor ca are loc relatia

r - m = 1, (19)

iar daca functia de transfer a sistemului deschis H(s) are un pol in origine - necesar pentru a asigura o eroare stationara nula la semnale de referinta de tipul(13) [1], ceea ce permite folosirea criteriului - atunci are loc conditia

0 (20)

importanta pentru aplicarea relatiilor directe pentru obtinerea criteriului

Pentru verificarea relatiei (19), functia de transfer H(s) din (11), reprezentand raportul a doua polinoame

(21)

este pusa sub forma

(22)

fiind evidentiata prezenta unui pol in origine ; in polinoamele K(s) si N(s) nu apare deci s ca factor

Intrucat s-a presupus reactia principala directa, rezulta [1]

(23)

iar prin inlocuirea expresiilor (14) si (23) in (11) se obtine

(24)

Intrucat polinomul K(s) nu contine variabila s ca factor, din (24) se constata ca la numitor nu apare s factor comun si deci conditia (20) este asigurata in (18).

Totodata, intrucat in (21) si (22) gradul numitorului este totdeauna mai mare decat al numaratorului - pentru toate sistemele automate din practica industriala [1] - rezulta ca numitorul din (24) are gradul polinomului sN(s) = D(s) ; ca urmare, relatia (24) confirma conditia (19).

Dupa cum va rezulta din paragraful 5.1.3 conditia (19) care este valabila pentru transformata ε(s) a erorii in cazul prezentei polului in origine in functia de transfer H(s) - nu mai este valabila in cazul transformatei altor marimi, cum sunt transformatele sau U(s).

Pentru cazurile in care relatia (19) este valabila - deci si pentru cazul expresiei ε(s) din (18) - in [2] este stabilita urmatoarea relatie directa care permite obtinerea expresiei criteriului prin intermediul coeficientilor din (18):

(25)

unde:

. (26)

.

.

. (27)

.

.

(28)

iar determinantii se obtin din prin inlocuirea coloanei i+1 prin coloana

(29)

3. Obtinerea functiilor criteriu si prin relatii directe

Criteriul - din (4) - poate fi pus sub forma

(30)

si notand

(31)

se obtine

(32)

avand in vedere si (1).

Intrucat in paragraful anterior este prezentata relatia (25) care permite obtinerea expresiei , problema determinarii expresiei criteriul se reduce la obtinerea expresiei .

Comparand (31) cu (1) se constata ca daca se deterimina transformata obtinandu-se o expresie analoaga cu (18) - atunci expresia poate rezulta prin interemdiul unei relatii analoage cu (25).

Conform relatiilor de transformare, rezulta

(33)

si inlocuind (24) cu (33) se obtine

(5.34)

Intrucat s-a considerat variatia treapta unitara (13) pentru marimea de referinta rezulta

(35)

Deoarece imediat dupa variatia marimii de referinta (la ) marimea de iesire y are inca valoarea considerate conventional egala cu zero - si din (1.61) rezulta

Inlocuind (35) in (5.34) rezulta

(36)

Intrucat in marea majoritate a cazurilor din practica industrial diferenta dintre gradele numitorului si numaratorului functiei de transfer H(s) - din (21) si (22) - este egala cu 2 sau mai mare, rezulta ca aceeasi diferenta se pastreaza si pentru expresia (36), deci conditia (19)

nu mai este valabila pentru transformata .

Ca urmare, pentru transformata se va obtine o expresie de forma

(37)

cu

(38)

Pentru cazurile in care este valabila conditia (38), in [2] este stabilita urmatoarea relatie pentru obtinerea expresiei prin intermediul coeficientilor din (37):

(39)

unde

.

.

.

(40)

.

.

.

iar determinantii se obtin ca in paragraful 5.1.

Inlocuind om (32) expresiile - din (25) si (39) - se obtine criteriul . In paragraful 5.1. sunt prezentate indicatii pentru alegerea constantei in timp T din (32), iar in paragraful 5. este ilustrata folosirea relatiilor directe pentru obtinerea criteriului .

Pentru obtinerea expresiei aferente criteriului , relatia (6) se transcribe sub forma

(41)

si notand

(42)

rezulta

(43)

problema reducandu-se deci la obtinerea expresiei din (42).

Daca se determina transformata U(s), atunci obtinerea expresiei este imediata, folosind o relatie de tipul (25) sau de tipul (39), dupa cum polinoamele de la numitorul si numaratorul transformatei U(s) indeplinesc conditia (19) sau conditia (38).

Din figura 1.13 se constata ca transformata U(s) se obtine usor din transformata , conform relatiei

(44)

unde este functia de transfer a regulatorului (de structura presupusa conoscuta), parametrii regulatorului - prin minimizarea functiei criteriu obtinandu-se valorile optime ale acestor parametrii - intervenind ca variabile in expresia

Relatiile (25) si (39) permit astfel obtinerea directa a criteriilor si . Pe o cale analoaga cu cea descrisa mai sus cele doua relatii permit si obtinerea criteriului , folosind expresiile transformatelor Laplace etc.

4. Obtinerea functiei criteriu prin intermediul functiilor Liapunov

Daca in (5) coeficientii sunt pozitivi, atunci criteriul poate fi pus sub forma

(45)

unde

(46)

este o functie patratica, pozitiv definita, de variabile etc.

Pentru obtinerea expresiei functiilor criteriu de forma , in [4,5] se propune alegerea unei functii Liapunov V (patratice, pozitiv definite), astfel incat sa aiba loc relatia

(47)

functia criteriu fiind obtinuta prin intermediul acestei functii Liapunov.

Functia U fiind pozitiv definita, rezulta ca U va fi negativ definit; din (47) se constata ca functia Liapunov V, pozitiv definita, va avea derivata in raport cu timpul negativ definita, deci este asigurata stabilitatea asimptotica a sistemului automat [6, 1].

Obtinerea expresiei functiei criteriu prin intermediul functiilor Liapunov este ilustrata in continuare pentru criteriul (care rezulta din prin retinerea primilor doi termeni ai integrandului), considerand un sistem de ordinal II [1], respectiv un sistem automat care in stare inchisa are o functie de transfer de forma

(48)

Din (23) si (24) se constata ca functia de transfer si transformata au acelasi numitor; datorita acestui fapt, in (48) polinomul de la numitor are coeficientii polinomului de la numitorul din (18)

Pe de alta parte, prezenta unui pol in origine in functia de transfer H(s) determina conditia

(49)

- dupa cum rezulta din (23) si ca urmare in (48) constanta de la numarator are valoarea , ceea ce asigura satisfacerea conditiei (49).

De cele mai multe ori functiile de transfer ale sistemelor de ordinal II se exprima in functie numai de doi parametrii, sub forma [1]

, (50)

unde este factorul de amortizare ;

- pulsatia naturala a sistemului neamortizat.

Identificand (48) cu (50) se obtine

(51)

(52)

(53)

Satisfacerea conditiei (49) - care atesta prezenta unui pol in origine in functia de transfer a sistemului deschis H(s) - asigura o eroare stationara nula la variatii treapta ale marimii de referinta , ceea ce permite aplicarea criteriului , conform conditiei (1.71). Ca urmare, are loc relatia

(54)

- semnul de referinta fiind o treapta unitara - deci

(55)

Pe de alta parte, marimea de iesire y poate fi pusa sub forma sumei componentelor stationara ( si tranzistorie (, respectiv

(56)

Inlocuind in relatia

(57)

expresia (56) pentru y, se obtine

, (58)

Din (58) se obtine

etc (59)

si deci criteriul din (4) poate fi pus sub forma

(60)

avand in vedere (58) si (59).

Expresia obtinuta in (60) - pentru sisteme cu o singura marime de referinta si o singura marime de iesire prezinta anumite analogii cu prima parte a termenului integral din relatia (9), corespunzatoare unor sisteme multivariabile, intrucat componentele vectorului pot fi considerate marimile si

Pentru obtinerea functiilor U si V, care intervin in (47), este indicat ca marimile si sa fie considerate variabile de stare, notand

(61)

(62)

Egaland cu zero numitorul din (48) se obtine ecuatia caracteristica

(63)

si deci regimul tranzitoriu determinat - de variatia treapta unitara a marimii de referinta va fi descris de ecuatia diferentiala [1]

respectiv de ecuatia

, (64)

avand in vedere (58) si (59)

Din (64) se obtine

respectiv

(65)

Din (62) rezulta

(66)

si inlocuind (61), (62) si (66) in (65) se obtine ecuatia de stare

, (67)

cealalta ecuatie de stare fiind reprezentata de ultima parte a egalitatii (62).

Inlocuind (61) si (62) in (60) se obtine

(68)

si identificand (68) cu expresia

(69)

- corespunzatoare relatiei (45) pentru , prin retinerea primilor doi termeni din (46) obtinandu-se - rezulta

(70)

Pe de alta parte, din (47) se obtine

(71)

si deci din (69) si (71) rezulta

(72)

Relatia (72) atesta faptul ca criteriul (si in cazul general criteriul ) poate fi exprimat prin intermediul functiilor Liapunov.

La , in noul regim stationar, devin nule si , deci se anuleaza ambele variabile de stare si rezultand

(73)

intrucat functia V este pozitiv definita si se anuleaza numai cand toate variabilele de stare sunt nule.

Inlocuind (73) in (72) se obtine

(74)

Pentru determinarea expresiei este necesara alegerea prealabila a functiei V, astfel incat sa fie asigurata conditia (47), respectiv - avand in vedere (70) astfel incat sa se verifice relatia

(75)

Functia V este cautata sub forma [5]

(76)

coeficientii si ,fiind determinanti din conditia satisfacerii relatiei (75).

Derivand (76) in raport cu timpul se obtine

(77)

Inlocuind in (77) expresiile si din (62) si (67), se obtine

(78)

Identificand coeficientii din (75) si (78) se obtin relatiile

(79)

(80)

(81)

rezolvarea acestor ecuatii permitand determinarea coeficientilor functiei V din (76):

(82)

(83)

(84)

Inlocuind (82), (83) si (84) in (76) se obtine

(85)

Iar din (74) si (85) rezulta

(86)

Pentru obtinerea expresiei trebuie determinate valorile marimilor

(87)

si

(88)

avand in vedere (58) si (59).

Intrucat s-a presupus ca semnalul de referinta este o treapta unitara, are loc relatia (35) si prin inlocuire in (87) se obtine

(89)

Pe de alta parte, la sistemele de ordinal II - cu functiile de transfer (48) si (50) - raspunsul y la un semnal treapta este tangent la axa timpului in momentul [1] deci rezulta

(90)

din (55), (5,56) si (90) se obtine astfel

(91)

si inlocuind (91) in (88) rezulta

(92)

Introducand in (86) valorile si din (89) si (92), se obtine expresia functiei criteriu

(93)

Dupa cum se constata din prezentul paragraf, considerarea anumitor marimi ca variabile de stare este utila si in cazul caracterizarii sistemului prin functii de transfer - deci in limbaj intrare-iesire - intrucat simplifica transcrierea unor relatii intermediare.