DIDACTIC Clasa : a-XII-a Matematica - Algebra - Impartirea polinoamelor prin X - a. Schema lui Horner.

PROIECT DIDACTIC

Clasa : a-XII-a

Obiectul : Matematica - Algebra

Subiectul lectiei : Impartirea polinoamelor prin X - a. Schema lui Horner.

Tipul lectiei :  Lectie de formare de priceperi si deprinderi de calcul.

Conpetente generale :

Identificarea unor date si relatii matematice si corelarea lor in functie de contextul in care au fost definite.

Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse in enunturi matematice.

Utilizarea algoritmilor si a conceptelor matematice  pentru caracterizarea locala sau globala a unei situatii conccrete.

Analiza si interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situatii problema in scopul gasirii de strategii pentru optimizarea solutiilor.

Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situatii concrete si a algoritmilor de prelucrare a acestora.

Competente specifice :

3.2 Aplicarea unor algoritmi in calculul polinomial sau in rezolvarea ecuatiilor algebrice

5.2 Determinarea unor polinoame sau ecuatii algebrice care indeplinesc conditii date

6.1 Exprimarea unor probleme practice folosind calcul polinomial

6.2 Aplicarea prin analogie, in calcule cu polinoame a metodelor de lucru din aritmetica numerelor

Strategia didactica: activ-participativa.

Metode si procedee didactice: conversatia euristica , exercitiul, demonstratia, munca independenta. 

Material didactic utilizat : manual si culegere clasa a-XII-a , fise de lucru, planse .

Tipuri de actitati : frontala si individuala.

Procedee de evaluare: analiza raspunsurilor, observarea sistematica a atentiei, verificarea cantitativa si calitativa a temei.

Scenariu didactic:

1.Moment organizatoric: Verificarea prezentei elevilor si notarea absentelor (daca sunt) in catalog;

Asigurarea unei atmosfere adecvate  pentru buna desfasurare a orei ;

2.Captarea atentiei: Verificarea temei elevilor prin sondaj folosind dialogul profesor-elev; elev-elev, prin confruntarea rezultatelor (in cazul in care apar diferente se rezolva exercitiile la tabla ).

3.Informarea elevilor asupra obiectivelor lectiei: Se anunta si se scrie pe tabla titlul lectiei: Impartirea polinoamelor prin X - a. Schema lui Horner.

4. Prezentare de material nou

In cazul particular cand impartitorul este restul se poate determina mult lai simplu:

Teorema. (Teorema restului) Restul impartirii polinomului prin polinomul

este egal cu valoarea polinomului f in punctul a, adica .

Demonstratie : Conform teoremei impartirii cu rest putem scrie , unde

grad(r)  < grad(g) = 1 T r constant (1) . Pentru X = a obtinem (2). Din (1) si (2) T

Exemplu : 1. Sa se determine restul impartirii lui prin

Rezolvare Conform teoremei restul impartirii prin X - 2 este

Teorema factorului ( Teorema lui Bezout)

Un element este radacina a polinomului daca si numai daca X - a divide pe f .

Deci .

Exemplu :

1. Se considera polinomul cu coeficienti reali. Sa se determine astfel incat polinomul f sa fie divizibil cu polinomul . (Var .22. Bacalaureat 2009).

Rezolvare :

2. Se considera polinomul cu coeficienti reali. Sa se determine astfel incat polinomul f sa fie divizibil cu . (Var .23. Bacalaureat 2009).

Rezolvare :

Schema lui Horner

Se considera polinomul . Catul si restul impartirii polinomului f prin X - a se poate obtine prin urmatorul procedeu numit schema lui Horner:

Catul impartirii este iar restul impartirii este .

Exemplu : Sa se determine catul si restul impartirii polinomului prin .

Catul impartirii este iar restul este r = 0.

5.Consolidarea cunostintelor si asigurarea feed-back-ului : Fiecare elev va primi cate o fisa de lucru .Pe parcursul rezolvarii exercitiilor, profesorul intervine cu intrebari , adresate atat elevilor de la tabla cat si celor din clasa, pentru a se clarifica demersul rezolvarii.

6.Tema pentru acasa : Se vor propune spre rezolvare ca tema pentru acasa , exercitiile ramase nerezolvate din fisa .

7.Aprecieri: se noteaza elevii care s-au evidentiat in timpul orei.

Fisa de lucru

1.Sa se determine restul impartirii lui

a) prin .

b) prin .

2. Se considera polinomul cu coeficienti reali. Sa se determine astfel incat polinomul f sa fie divizibil cu polinomul .

3. a) Se considera polinomul cu coeficienti reali. Sa se determine astfel incat polinomul f sa fie divizibil cu .

b) Se considera polinomul f =X4- 4X3 + 6X2 - 4X + m cu coeficienti reali. Sa se determine stiind ca are radacina x1 = 2 - i.

4. Sa se determine catul si restul impartirii polinomului la polinomul daca:

a) si .

b) si

c) si