DIDACTIC Clasa : a-XII-a Matematica - Algebra - Inele - definitie, exemple

PROIECT DIDACTIC

Clasa : a-XII-a

Obiectul : Matematica - Algebra

Subiectul lectiei : Inele - definitie, exemple

Tipul lectiei :  Lectie de dobandire de noi cunostinte.

Conpetente generale :

1. Folosirea terminologiei specifice matematicii in contexte variate de aplicare.

2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual, cuprinse in enunturi matematice.

3. Utilizarea algoritmilor si a conceptelor matematice in rezolvarea de probleme.

4. Exprimarea si redactarea coerenta, in limbaj formal sau in limbaj cotidian, a rezolvarii sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme.

5. Analiza de situatii - problema, in scopul descoperirii de strategii pentru optimizarea solutiilor.

6. Generalizarea unor proprietati prin modificarea contextului initial de definire a problemei sau prin generalizarea algoritmilor.

Competente specifice :

1. Identificarea proprietatilor operatiilor cu care este inzestrata o multime.

2. Evidentierea asemanarilor si a deosebirilor dintre proprietatile unor operatii definite pe multimi diferite

3.1 Determinarea si verificarea proprietatilor structurilor algebrice, inclusiv verificarea faptului ca o functie data este morfism sau izomorfism.

4. Utilizarea proprietatilor operatiilor in calcule specifice unei structuri algebrice.

5.1 Utilizarea structurilor algebrice in rezolvarea unor probleme de aritmetica.

6.1 Transferarea, intre structuri izomorfe, a datelor initiale si a rezultatelor, pe baza propriet

Strategia didactica: activ-participativa.

Metode si procedee didactice :conversatia euristica , exercitiul, demonstratia, munca independenta.

Material didactic utilizat : manual si culegere clasa a-XII-a , fise de lucru, planse.

Tipuri de actitati : frontala si individuala.

Procedee de evaluare: analiza raspunsurilor, observarea sistematica a atentiei ,verificarea cantitativa si calitativa a temei.

Scenariu didactic:

1. Moment organizatoric: Verificarea prezentei elevilor si notarea absentelor (daca sunt) in catalog. Asigurarea unei atmosfere adecvate pentru buna desfasurare a orei ;

2. Captarea atentiei: Verificarea temei elevilor prin sondaj folosind dialogul profesor-elev ;elev-elev, prin confruntarea rezultatelor (in cazul in care apar diferente se rezolva exercitiile la tabla ).

3. Informarea elevilor asupra obiectivelor lectiei: Se anunta si se scrie pe tabla titlul lectiei: Inele - definitie , exemple.

4. Prezentare de material nou

1. Definitie. Fie A o multime nevida si legile de compozitie:

Tripletul se numeste inel daca sunt verificate axiomele

Grupul se numeste grupul subiacent al inelului .

Prima operatie a inelului se numeste adunare iar a doua operatie se numeste inmultire.

Elementul neutru al primei operatii se numeste zeroul inelului si se noteaza sau .

Simetricul unui element in grupul subiacent se numeste opusul lui .

Elementul neutru al celei de a doua oeratii se numeste elementul unitate al inelului si se noteaza sau .

Elementele simetrizabile ale monoidului se numesc elementele inversabile sau unitati ale inelului .

Multimea unitatilor inelului se noteaza . Perechea este un grup, numit grupul unitatilor inelului .

Exemple de inele.

Din proprietatile adunarii si inmultirii numerelor deducem ca tripletele , , , sunt inele comutative.

Avand in vedere proprietatile adunarii si inmultirii matricelor, rezulta ca tripletele , , , sunt inele necomutative.

Elementul nul in aceste inele este matricea nula iar elementul unitate este matricea unitate .

5.Consolidarea cunostintelor si asigurarea feed-back-ului : Fiecare elev va primi cate o fisa de lucru. Pe parcursul rezolvarii exercitiilor, profesorul intervine cu intrebari ,adresate atat elevilor de la tabla cat si celor din clasa, pentru a se clarifica demersul rezolvarii.

6.Tema pentru acasa : Se vor propune spre rezolvare ca tema pentru acasa , exercitii din fisa .

7.Aprecieri: se noteaza elevii care s-au evidentiat in timpul orei.

Fisa de lucru

Activitate individuala.

Pe multimea numerelor intregi se definesc legile de compozitie

a) Sa se studieze daca este inel comutativ.

b) Sa se determine grupul unitatilor inelului.

Exemple:

1)   Inelul (Z,+, ) este euclidian. Intr-adevar , in acest inel are loc teorema impartirii cu rest pentru numere intregi , si anume:

a,bIZ , b q,rIZ a.i. a=bq+r . unde 0 r ¸| b| .

Mai mult q si r sunt unice.

Considerind functia f: Z- N, f(n)=| n |, rezulta clar ca inelul Z  impreuna cu f este euclidian (satisface conditiile 1 si 2). Mentionam ca teorema impartirii cu rest la numere intregi o vom demonstra in paragraful 1 al capitolului III.

2)   Orice corp este inel euclidian. Intr-adevar, daca K este un corp, consideram functia f : K- N definita prin f(a)=1, aIK ,a 0 . Aceasta functie satisface 1 si 2.

3)   Inelul K[x] al polinoamelor cu coeficienti intr-un corp K pentru care functia f :K[x] - N, definita prin f(g)=grad(g), gIK[x] , g 0 , este un inel euclidian.

Intr-adevar, daca g,h IK[x], g 0 si g/h, atunci h=gg', cu g'IK[x], deci    grad(g) grad(h), adica f(g) f(h). Deci conditia 1 este indeplinita.

Sa verificam proprietatea 2. Fie f,gIK[x] cu g 0. Daca grad(g)=0, atunci f=g(g f), deoarece g 0 din K, deci inversabil si afirmatia este dovedita, adica este verificata proprietatea 2. Daca grad(g)>0, atunci vom face o inductie dupa gradul lui f. Daca grad(f)<grad(g), in particular, pentru grad(f)=0, din relatia f=g 0+f, rezulta 2.

Presupunem ca 2 afost verificata pent 434q1619e ru toate polinoamele f, cu grad(f)<n.   Fie atunci f un polinom de grad n, si g un polinom de gradul m, Putem presupune ca m n , conform celor demonstrate mai sus. Atunci, polinomul are gradul cel mult n-1, deoarece termenii de gradul cel mai mare se reduc , deci grad(f1)<grad(f). Din ipoteza inductiva rezulta, atunci ca exista q,rIK[x] a.i. f1=gq+r, unde r=0 sau grad(r)<grad(g). Atunci avem: satisfac proprietatea 2. Polinoamele q si r IK[x] , numite citul si restul , astfel incit f=qg+r, r=0 sau grad(r)<grad(g); In cazul inelului K[x] sunt chiar unice (ca si la Z , de altfel). Dar unicitatea acestora nu este necesara in formula de impartire cu rest , in cazul inelului euclidian.

4)   Inelul intregilor lui Gauss este euclidian, in care functia din definitie este norma N. Definim pe Z[i] functia f :Z[i] N, f(m+ni)=m +n (f(m+ni) este patratul modulului numarului complex m+ni). Numarului complex z=a+bi, a,bIR, i se asociaza in plan punctul M de coordonate (a,b). Numerele complexe din multimea Z[i] sunt reprezentate in plan prin puncte ale caror coordonate sunt numere intregi.

Reprezentindu-le , obtinem o retea in plan ca in figura 1. Consideram z,z'IZ[i] , z' 0 si fie M punctul din plan asociat numarului comlex z/z' . In retea exista un patrat ABCD in care se afla punctul M. Fie A virful cel mai apropiat de M. Daca A(a,b) , atunci a,bIZ si A este asociat numarului complex q=a+ib.

Pe de alta parte , cum latura patratului ABCD este unitate si cum A a fost ales cel mai apropiat de M , obtinem ca distanta MA este mai mica decit jumatate din diagonala patratului. Deci MA /2<1, dar MA este egal cu modulul numarului complex z/z'-q. Deci avem: | z/z'-q|

Avem, atunci, |z-qz'|<|z'| si , notind r=z-qz', avem | r |<| z'| sau | r |<| z'| si , deci, f(r)<f(z'). In concluzie, avem z=qz'+r, cu f(r)<f(z') si, deci, Z[i] este inel euclidian. Din aceasta demonstratie rezulta ca restul si citul impartirii nu sunt unic determinate.

y

B A

M

C D

x Fig.1.

Intr-adevar, daca M este centrul patratului ABCD, atunci putem alege citul q al impartirii in egelitatea de mai sus , numarul complex q=a+ib, cu a,bIZ pentru care (a,b) sa fie coordonatele oricaruia din virfurile patratului ABCD.

Sa exemplificam pe un caz numeric ; consideram in Z[i] numerele

z=6i si z'=2+2i, pentru care z/z'=6i/(2+2i)=3/2+3i/2.

In figura 2 , punctul M , care este reprezentarea geometrica a numarului comlex z/z'=3/2+3i/2, cade in centrul patrtului ABCD.

Deci putem alege citurile q1=1+i sau q2=2+i sau q3=2+2i sau q4=1+2i.

Avem egalitatile:   z=z'q1+r1 unde r1=2i;

z=z'q2+r1 unde r1=-2; y

z=z'q3+r1 unde r1=-2i;

z=z'q4+r1 unde r1=2.

In cele 4 cazuri , avem f(ri)<f(| z |), 1 i

A(1,2) D(2,2) M(3/2,3/2) B(1,1) C(2,1)