Sisteme de ecuatii liniare

Sisteme de ecuatii liniare

Fie sistemul de m ecuatii si n necunoscute:

(1)

Unde r si Daca sistemul (1) se numeste omogen.

Sistemul (1) poate fi scris condensat sub forma:

1

Coeficientii necunoscutelor formeaza o matrice cu m linii si n coloane:

A=

numita matricea coeficientilor sistemului sau, simplu, matricea sistemului. Matricea cu m linii si n+1 coloane

=

Care se obtine adaugand la coloanele matricei A coloana termenilor liberi , se numeste matricea extinsa a sistemului.

Un sistem de numere se numaste solutie a sistemului (1), daca inlocuind necunoscutele respectiv prin aceste numere, toate solutiile acestui sistem sunt verificate, adica

1

Un sistem de ecuatii care nu are solutii se numeste incompatibil.

Un sistem de ecuatii liniare care are cel putin o solutie se numeste compatibil. Un sistem compatibil se numeste determinat daca are o singura solutie, si se numeste nedeterminat daca are mai mult decat o solutie.

In legatura cu sistemele de ecuatii liniare ne punem problema stabilirii unor metode care sa ne permita sa decidem daca un sistem de ecuatii dat este compatibil sau nu, iar in cazul in care este compatibil, sa putem spune daca este determinat sau nu, si sa dam procedee de gasire a tuturor solutiilor sale.

Pentru rezolvarea unui sistem de ecuatii liniare de n ecuatii cu n necunoscute, care au determinantul sistemului nenul, avem urmatoarea teorema:

Teorema ( Regula lui Cramer ). Daca d=detA este nenul, atunci sistemul (1) are o solutie unica, anume:

In concluzie, un sistem de n ecuatii liniare cu n necunoscute, al carui determinant este nenul, este compatibil determinat, iar solutia sa este data de formulele lui Cramer.

Aplicatie. Sa se rezolve sistemul de ecuatii liniare

Rezolvare. Determinantul sistemului

d =

fiind nenul, solutia este data de formulele lui Cramer.

Valorile necunoscutelor vor avea la numarator determinantii:

d= ,  d=

d=,   d=

Astfel, , , , este solutia sistemului nostru; mai mult , aceasta este unica solutie.

Cazul general

Fie un sistem de ecuatii liniare, cu m ecuatii si n necunoscute, cu m diferit de n:

(1)

Ne punem mai intai problema compatibilitatii sistemului (1). Pentru aceasta, sa analizam matricea A a coeficientilor sistemului si matricea extinsa , care se obtine din A completand coloanele sale cu coloana termenilor liberi ai sistemului (1),

, .

Este evident ca , deoarece minorii matricei A se gasesc printre minorii matricei .

Problema compatibilitatii sistemelor de ecuatii liniare este rezolvata de urmatoarea teorema:

Teorama lui Kronecker-Cappelli. Un sistem de ecuatii liniare (1) este compatibil daca si numai daca rangul matricei sistemului A este egal cu rangul matricei extinse .

Utilizarea acestei teoreme, in exemple concrete, necesita inainte de toate, calculul rangului matricei A. Pentru aceasta trebuie sa gasim un minor nenul al lui A , fie acesta d, astfel incat toti minorii care contin pe d sa fie nuli. Orice minor de acest fel il vom numi minor principal. Apoi, este suficient sa verificam ca orice minor al matricei A , care contine pe d si care nu este minor al lui A , este de asemenea nul. Orice astfel de minor de ordin r+1, obtinut prin bordarea unui minor principal cu elementele corespunzatoare ale coloanei termenilor liberi, precum si cu cele ale uneia dintre liniile ramase, se numeste minor caracteristic.

Astfel, teorema lui Kronecker-Capelli se poate enunta si sub forma urmatoare:

Teorema lui Rouché . Un sistem de ecuatii (1) este compatibil daca si numai daca toti minorii caracteristici sunt nuli.

Sa presupunem acum ca sistemul (1) este compatibil. Teorema lui Kronecker-Capelli ne permite sa decidem daca sistemul este compatibil sau nu, dar nu ne da un mijloc practic de aflare a tuturor solutiilor sistemului dat.

De aceasta problema ne vom ocupa in continuare.

Fie deci un sistem de ecuatii liniare (1) compatibil. Sa presupunem ca rangA=rang=r si ca un minor principal al sistemului se gaseste la intersectia primelor r linii si a primelor r coloane, adica

.

Dupa cum am observat orice linie a matricelor A si este combinatie liniara de primele r linii. De aici rezulta ca orice ecuatie a sistemului (1) este o combinatie liniara de primele r ecuatii ale sistemului (1) este o combinatie liniara de primele r ecuatii ale sistemului (1), cu anumiti coeficienti. De aceea, orice solutie a primelor r ecuatii satisface toate ecuatiile sistemului (1). Este suficient deci sa rezolvam sistemul

    (5)

care este echivalent cu sistemul (1).

Matricea coeficientilor sistemului (5) are un minor nenul de ordin r ( format din primele r coloane) si deci are rangul egal cu r, unde rn. Distingem doua cazuri:

1. Daca r = n, sistemul (5) are acelasi numar de ecuatii si de necunoscute, iar determinantul sau este nenul. In acest caz, acest sistem are o solutie unica pe care o putem calcula cu formulele lui Cramer. Aceasta este si solutia sistemului (1).

2. Fie r<n. Pentru a fixa ideile, vom presupune ca mai inainte, ca minorul format din coeficientii primelor r necunoscute este nenul, adica principal. Necunoscutele se numesc principale. Trecem in membrul drept al ecuatiilor (5) toti termenii care contin necunoscutele (secundare): ; le atribuim valori arbitrare, respectiv . Obtinem un sistem de r ecuatii cu r necunoscute: .

   (6)

Se rezolva acest sistem cu formulele lui Cramer; el are o solutie unica Numerele formeaza o solutie a sistemului (5), care este si solutie a sistemului (1). Cum valorile ale necunoscutelor secundare sunt alese arbitrar, obtinem in acest mod o infinitate de solutii distincte ale sistemului (5), care constituie multimea solutiilor sistemului (1).

Pe de alta parte, orice solutie a sistemului (5) poate fi obtinuta prin acest procedeuIn concluzie, fiind dat un sistem de ecuatii liniare (1) a carui rezolvare si cere, procedam in modul urmator:

Studiem daca sistemul este compatibil. Pentru aceasta gasim un minor principal al matricei A a sistemului, apoi calculam minorii caracteristici.

1⁰ Daca exista cel putin un minor caracteristic nenul, atunci sistemul este incompatibil.

2⁰ Daca toti minorii caracteristici sunt nuli, atunci sistemul este compatibil.

. Pentru gasirea solutiilor unui sistem compatibil (1), procedam astfel:

Pastram din sistemul (1) ecuatiile care corespund liniilor minorului principal. In aceste ecuatii, trecem in membrul drept termenii care contin necunoscutele secundare, in membrul stang pastrand numai termenii care contin necunoscutele principale. Atribuim necunoscutelor secundare valori arbitrare, apoi calculam cu ajutorul formulelor lui Cramer valorile necunoscutelor principale, obtinand astfel toate solutiile sistemului (1).

Pentru ca sistemul compatibil (1) sa aiba solutie unica este necesar si suficient ca rangul matricei sistemului sa fie egal cu numarul necunoscutelor.

Aplicatii.

.Sa se rezolve sistemul

Rezolvare.

Sa scriem matricele:

A= si = .

Deoarece avem , iar si , rezulta ca rangul matricei A este 2, iar minorul este principal.

Calculam minorii caracteristici. Avem doar un singur minor caracteristic si anume:

Deoarece acesta este nenul, sistemul este incompatibil.

. Sa se rezolve sistemul

Rezolvare.

Matricea coeficientilor are rangul 2, un minor principal al sau fiind, de exemplu:

Exista un singur minor caracteristic si anume .

Acesta fiind nul, sistemul este compatibil si are solutie unica. Pentru gasirea solutiei, rezolvam sistemul.

Obtinem solutia: . Aceste valori satisfac si ecuatia a treia a sistemului initial.

. Sa se rezolve sistemul .

Rezolvare.

Calculam determinantul sistemului si obtinem

Cu toate ca numarul de ecuatii este egal cu numarul de necunoscute, nu se pot folosi direct formulele lui Cramer, deoarece determinantul sistemului este nul. Matricea coeficientilor este de rang 3 un minor principal fiind, de exemplu 

Exista un singur minor caracteristic :

Care fiind nul sistemul este compatibil.

Consideram primele trei ecuatii cu necunoscutele principale . Daca fiind necunoscuta secundara, gasim: , , .

Un sistem de ecuatii liniare se numeste omogen daca termenul liber al fiecarei ecuatii este nul ( adica fiecare ecuatie este omogena). Asadar, forma generala a unui sistem omogen de ecuatii liniare este (1)

In legatura cu sistemele omogene, observam urmatoarele:

1. Un sistem omogen este intotdeauna compatibil. Intr-adevar, termenii liberi fiind nuli, rezulta ca adaugand la coloanele maricei sistemului coloana nula a termenilor liberi rangul nu se schimba. Deci, conform teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este compatibil.

De altfel, aceasta se vede direct, intrucat un astfel de sistem admite solutia nula: 0,0,,0.

Sa presupunem ca matricea A a coeficientilor este de rang r.

1. Daca  r=n ( numarul necunoscutelor), atunci solutia nula este singura solutie a sistemului (1).
2. Daca  r<n ( numarul necunoscutelor), atunci sistemul (1) are si solutii nenule. Pentru a gasi solutiile, se utilizeaza acelasi procedeu ca in cazul sistemelor arbitrare.

Observatii. 1). Un sistem de n ecuatii liniare omogene cu n necunoscute are solutii nenule daca si numai daca determinantul sau este nul.

2). Daca un sistem de ecuatii liniare omogene are numarul ecuatiilor mai mic decat cel al necunoscutelor, sistemul are solutii nenule.

Aplicatii.

Sa se determine valorile parametrului pentru care sistemul de ecuatii are solutii nenule

Rezolvare. Determinantul sistemului este . Acesta este nul pentru sau ; in aceste cazuri sistemul are solutii nenule.

Sa se rezolve sistemul omogen .

Rezolvare.

Calculam mai intai, determinantul sistemului, care este nul. Deoarece , si toti minorii de ordin trei care se obtin prin bordarea acestuia cu una dintre coloanele si una dintre liniile ramase sunt nuli, rezulta ca acesta este un minor principal.

Pentru a obtine solutiile, dam necunoscutelor valori arbitrare respectiv , si deducem valorile necunoscutelor si din sistemul:

Rezulta , , , , si fiind numere oarecare.