Sisteme de ecuatii de gradul I si II

Sisteme de ecuatii de gradul I si II

TIPUL 1: Se da sistemul:

;

a)  Sa se rezolve si sa discute sistemul dupa valorile parametrului real m.

b)  Sa se determine valorile intregi ale parametrului m astfel ca sistemul sa admita ca solutii numere intregi.

Rezolvare:

a)  Reducand pe "y" se obtine:

,

Reducand pe "a" se obtine

Pentru sistemul este compatibil determinat cu solutia:

,

Pentru sistemul se reduce la:

nedeterminat, cu solutia si

Pentru sistemul devine:

b) Trebuie sa avem

;

Adica "5m + 2" este un ivisor al numarului 12. Multimea divizorilor lui 12 este: , din conditiile

Deci:

TIPUL 2: Sa se discute sistemul:

Rezolvare:

Din primele 2 ecuatii se obtine:

Sistemul este compatibi daca aceste valori pentru "x" si "y" verifica ecuatia a treia.

Cazuri:

a) m = 1 - sistemul este compatibil: x = 2, y = -1

b) m = 3 - sistemul este compatibil:

c) - sistemul se scrie: incompatibil

d) mR - sistemul este incompatibil.

TIPUL 3: Se da sistemul

a)    Sa se rezolve sistemul.

b)   Sa se afle valorile parametrului "m" pentru care sistemul admite radacini reale.

Rezolvare

a)  Se inmulteste ecuatia a doua cu 2 si se aduna la prima ecuatie se obtin urmatoarele sisteme echivalente cu sistemul dat

Se scriu ecuatiile de gradul al doilea

si

Solutiile sistemului sunt

b)  Solutiile sistemului suntreale daca "m" satisface simultan inecutiile

TIPUL 4: Sa se rozelve sistemul:

Rezolvare:

Se noteaza ,

,

Pentru , , ,

Pentru , .

Solutiile sistemului sunt:

TIPUL 5:

Sa se determine valorile reale ale lui "a" pentru care sistemul:

Rezolvare:

Din ecuatia nr.2 rezulta: a ≥ 0

Cazul nr. 1:

Pentru sistemul devine:

a)  : , ,

b)  : ; ;

c)  : ; ; ;

d)  ; ;

e)  , ,

Cazul nr. 2:

Pentru sistemul se scrie:

a)  : ,

b)  :

c)  :

d)  ,

e)  ,

Cazul nr. 3:

Pentru sistemul este imposibil

TIPUL 6 Sa se rezolve, in , sistemul

daca sau .Pentru se obtine sistemul

Notam se obtine

si

si deci

Pentru are loc sistemul

Notam se obtine

EXEMPLE

Sa se rezolve si sa se discute sistemul

Inmultim prima ecuatie cu ""se reduce

Analog

Cazul nr 1

Pentru si sistemul este compatibil cu solutia

Cazul nr 2

Pentru si sistemul se scrie

(nedeterminat)

Cazul nr 3

Pentru si s obtine sistemul

Cazul nr 4

Pentru si sistemul se reduce3 la ecuatia

(nedeterminat)

Cazul nr 5

Pentru si sau si sistemul este nedeterminat

, pentru si pentru

Sa se discute sistemul

Din primele doua ecuatii se obtine

Inlocuim aceste valori pentru si in ecuatia a treia

Unde

Cazul nr 1

Pentru sistemul se scrie

(incompatibil)

Cazul nr 2

Pentru sistemul este compatibil:

Cazul nr 3:

Pentru sistemul este incompatibil

Se considera sistemul

a)   Sa se rezolve sistemul

b)   Sa se determine valorile parametrului pentru care sistemul admite numai solutii cu numere intrgi negative

c)   Sa se determine valorile parametrului pentru care sistemul admite o solutie

a)Inlocuim din prima ecuatie in a doua si se obtine o ecuatie de gradul al doilea in

b)Sistemul admite solutii cu numere intregi negative daca

; unde este multimea numerelor intregi negative.

Din , avem .Pentru aceste valori le lui se obtine

Deci sistemul admite solutiile intregi negative

c)Pentru sistemul se scrie

Eliminam si obtinem ecuatia de gradul al doilea in

Pentru ,obtinem , iar pentru se obtine

4)Sa se rezolve, in ,sistemul

Cazul nr 1:

Prima ecuatie devine

, pentru se scrie

Iar pentru se obtine

Cazul nr 2:

Care inlocuit in prima ecuatie da:

Insa, pentru si deci

, sistemul nu admite solutii.

Cazul nr 3:

Prima ecuatie devine

care pentru se mai scrie

si sistemul nu admite solutii.

Cazul nr 4:

Prima ecuatie se scrie

sau pentru

, sistemul nu admite solutii.

Cazul nr 5:

Cazul nr 6:

, prima ecuatie nu are loc

Cazul nr 7:

, prima ecuatie nu este verificata

Solutiile sistemului sunt:

5) a)Sa se rezolve sistemul

b)Sa se determine si pentru care solutiile sistemului sunt

1)rationale 2)intregi

a) Ridicam prima ecuatie la puterea a treia

Se obtine sistemul

Deci

b) Solutiile sistemului sunt rationale daca si sunt rationali si

cu rational

Sistemul admite ca solutii numer intregi daca , si

sau si ,

Dar

Daca (a-1 este un divizor al lui 2) si , cu

Unica valoare a lui care satisface aceste conditii este si solutia sistemului este , cu ,