Pitagora si-a dat seama imediat ca aceasta problema poate fi rezolvata cu ajutorul numerelor prime si a incercat sa-i explice seniorului de unde ar trebui sa inceapa cu rezolvarea problemei. El a inceput sa explice astfel :
Numim numar prim orice numar natural mai mare decat 1,care are numai divizori improprii.Numerele prime sunt:2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31
Obs.:Singurul nr.prim si par este 2.
Pentru a afla daca un numar este prim sau nu,il descompunem in factori primi,adica il impartim la toate numerele prime cu care este divizibil.Daca este divizibil doar cu 1 si cu el insusi,atunci numarul este prim.
Dupa aceste mici explicatii, Pitagora il ruga pe senior sa imparta cele doua numere in factori primi.
Atunci seniorul nota pe hartie :
220 = 2 x 2 x 5 x 11
284 = 2 x 2 x 71
Dar exista o deosebire intre factorii primi ai unui numar si divizorii lui, divizorii unui numar nu sunt numai factorii lui primi ci si produsele formate de acestia.
Daca reluam calculul adaugand si pe 1 (unu) printre factorii primi se poate constata ca prin adunarea partilor lui 220 se obtine 284.
2 x 2 = 4
2 x 5 = 10
2 x 11 = 22
5 x 11 = 55
2 x 2 x 5 = 20
2 x 2 x 11 = 44
2 x 5 x 11 = 110
Deci : 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Daca il luam pe 284 descompus in factori primi obtinem 2 x 2 x 71
2 x 2 = 4
2 x 71 = 142
Deci : 1 + 2 + 71 + 142 = 220
Seniorul pleca multumit de explicatia data de mare Pitagora si astfel reusi sa inteleaga mesajul cavalerului.
Raspandindu-se vorba prin tinut despre intelepciunea lui Pitagora, intr-o dimineata acesta se trezi cu un nou musafir care incerca sa il puna in incurcatura pe marele invatat. Astfel Pitagora trebui sa rezolve o noua problema care se pezenta astfel :
Un copil este de doua ori mai varstnic decat sora lui. Ea are de trei ori mai multe cirese decat are el alune. Daca inmultim numarul ce reprezinta varsta copilului cu numarul cireselor obtinem 510. Ce varsta are sora copilului si cate alune are el ?.
Pitagora se gandi un pic si isi dadu seama ca are de a face din nou cu numerele prime. Astfel daca descompunem in factori primi numarul 510, obtinem : 2 x 3 x 5 x 17. Varsta frateleui trebuie sa fie compusa din doi dintre acesti factori. Cum este dublul varstei sorei, unul din numere neaparat este 2.
Numarul cireselor trebuie sa fie un multiplu de 3. Raman doi factori primi : 5 si 17. Dar varsta fratelui nu poate fi 2 x 17 = 34, pentru ca este inca un copil. Atunci putem spune ca are 2 x 5 = 10 ani, iar surioara lui are 10 - 5 = 5 ani.
Numarul cireselor va fi de 3 x 17 = 51, iar cel al alunelor este 17.
Dar Pitagora il provoca pe musafirul sau sa rezolve si el o problema destul de simpla, iar acesta accepta. Problema spunea cam asa ceva:
Care sunt nr. prime de 2 cifre,avand produsul cifrelor 6?
Rezolvare:
ab=?,a este numar natural nenul si axb=6
=>a;b sunt divizori ai lui 6
D6={1;2;3;6}
a=1,b=6=>ab=16 si nu este nr. prim
a=2,b=3=>ab=23 si este prim
a=3,b=2=>ab=32 si nu este prim
a=6,b=1=>ab=61 si este prim
ab={23;61}
Pitagora fu multumit de raspunsul musafirului sau si ii mai puse acestuia o intrebare tot din domeniul matematicii. Dar numaidecat isi dadu seama ca nu ia spus acestuia cate ceva despre divizibilitate pentru a putea rezolva si aceasta problema. Asa ca incepu sa ii spuna urmatoarele definitii :
Definitia divizibilitatii:
Spunem ca numarul natural a se divide cu d,daca exista un nr.
