Pentru a si b >0 notam ma = , mg = , mh = , mp = ;
● Ma se numeste media aritmetica a numerelor a si b;
● Mg se numeste media geometrica a numerelor a si b;
● Mh se numeste media armonica a numerelor a si b;
● Mp se numeste media patratica a numerelor a si b;
Printr-un calcul simplu se arata ca :
min(a,b) mh mg ma mp max(a,b) cu egalitate daca si numai daca a = b;
In continuare vom demonstra geometric unele dintre acestea:
1 . Consideram un triunghi dreptunghic avad ipotenuza BC si CD=a, DB=b iar
AD BC. Evident mediana AM = iar
inaltimea AD = .Avem AM AD cu egalitate
cand M=D adica a=b. Deci ma mg ;
2. In triunghiul dreptunghic ABC , se considera un punct P pe ipotenuza (BC). Demonstrati ca AP2=
Fie AD inaltime,deci AD mediana si AD =BC/2=(BP+PC)/2.Presupunem
CP PD deci PD =CP - CD =CP - BC /2= CP - (CP+BP) /2=(CP - BP ) /2;
In triunghiul dreptunghic ADP avem AP2 =AD2 +DP2 adica:
AP2=
Comentariu
Evident AD= cu egalitate pentru PB=PC.
Rezulta inegalitatea ma mp;
