QReferate - referate pentru educatia ta.
Cercetarile noastre - sursa ta de inspiratie! Te ajutam gratuit, documente cu imagini si grafice. Fiecare document sau comentariu il poti downloada rapid si il poti folosi pentru temele tale de acasa.



AdministratieAlimentatieArta culturaAsistenta socialaAstronomie
BiologieChimieComunicareConstructiiCosmetica
DesenDiverseDreptEconomieEngleza
FilozofieFizicaFrancezaGeografieGermana
InformaticaIstorieLatinaManagementMarketing
MatematicaMecanicaMedicinaPedagogiePsihologie
RomanaStiinte politiceTransporturiTurism
Esti aici: Qreferat » Documente matematica

Functii



FUNCTII

Fiind date multimile A si B, prin functie (sau aplicatie) definita pe multimea A cu valori in multimea B se intelege o lege f, in baza careia oricarui element a I A i se asociaza un unic element, notat f(a), din B.



Multimea A se numeste domeniul de definitie al functiei f, iar multimea B se numeste domeniul valorilor functiei f (sau codomeniul functiei f).

O functie f este perfect determinata cand se da domeniul de definitie, codomeniul sau si modul cum actioneaza f. O functie f definita pe multimea A cu valori in B se noteaza f: A B.

Daca f: A B este o functie si A' A este o submultime a multimii A, notam

f(A') =

numita imaginea directa a lui A' prin functia f. In cazul particular cand A' = A, notam f(A) = Im f si se numeste imaginea functiei.

Similar, daca B' B este o submultime a lui B, atunci notam

f -1(B') = .

Aceasta submultime se numeste imaginea inversa a lui B' prin functia f si este o submultime a lui A.

O functie f: A B se numeste injectiva daca oricare ar fi a, a' I A cu a a' rezulta f(a) f(a') sau echivalent, din egalitatea f(a) = f(a') rezulta a = a'.

Functia f: A B se numeste surjectiva daca oricare ar fi b I B exista a I A astfel incat f(a) = b sau echivalent, Im f = B.

O functie care este injectiva si surjectiva se numeste bijectiva.

Daca A si B sunt doua multimi oarecare, vom nota cu BA = , adica multimea tuturor functiilor definite pe A cu valori in B.

Daca A este o multime oarecare, functia 1­­­­­A: A A, unde 1A(a) = a oricare ar fi aIA se numeste functia identica a multimii A.

Daca A B este o submultime a lui B, atunci functia i: A B unde i(a) = a oricare ar fi aIA se numeste functia incluziune a submultimii A a lui B.

O functie f: A B se numeste restrictia functiei g: A' B' daca A A', B B' si f(a) = g(a), oricare ar fi aIA. In aceasta situatie g se numeste o extindere a lui f.

Fiind date functiile f: A B si g: B C, functia notata cu g of, unde g o f: A C si (g of)(a) = g(f(a)) oricare ar fi aIA se numeste compunerea functiilor f si g.

Daca f: A B este o functie, atunci sunt evidente egalitatile:

1B o f = f si f o 1A = f.

O proprietate importanta a compunerii functiilor este urmatoarea:


Teorema 2.1. Compunerea functiilor este asociativa, adica fiind date functiile

f: A B, g: B C si h: C D are loc egalitatea

h o (g o f) = (h o g) o f.

Demonstratie. Intr-adevar, se vede mai intai ca functiile h o (g o f) si (h o g) o f au

domeniul de definitie A, iar codomeniul D. Fie acum a I A; avem


(h o (g o f))(a) = h((g of)(a)) = h(g(f(a)))

si

((h o g) o f)(a) =(h o g)(f(a)) = h(g(f(a))


de unde rezulta ca

h o (g o f) = (h o g) o f.


O functie f: A B se numeste inversabila daca exista o functie g: B A astfel incat g o f = lA si f o g = 1B. Urmatoarea teorema caracterizeaza functiile inversabile:


Teorema 2.2. Daca f: A B este o functie, atunci f este inversabila daca si numai

daca f este bijectiva.

Demonstratie. Presupunem ca f este inversabila. Atunci exista o functie g : B A

astfel incat g o f = 1A si f o g = 1B. Fie a, a'IA astfel incat f(a) = f(a'). Atunci avem ca g(f(a)) = g(f(a')), adica (g o f)(a) = (g o f)(a'), de unde obtinem ca 1A(a) = lA(a') si deci a = a'. Deci f este o functie injectiva.

Fie acum bI B si a = g(b) I A. Deci f(a) = f(g(b)) = (f o g)(b) = 1B(b) = b, ceea

ce ne arata ca f este si surjectiva si deci f este bijectiva.

Invers, presupunem ca f este bijectiva. Fie b I B un element oarecare. Cum f este surjectiva exista elementul abIA astfel incat f(ab) = b. Cum f este injectiva, elementul ab este unic determinat de b. Atunci definim functia g: B A astfel: g(b) = ab. Se verifica imediat ca g o f = 1A si f o g = lB.


Sa presupunem din nou ca functia f : A B este inversabila. In acest caz functia g: B A cu proprietatile g o f = 1A si f o g = 1B este unic determinata. Intr-adevar, sa presupunem ca mai exista o functie g': B A astfel incat g' o f = 1A si f o g' = 1B. In acest caz avem (g' o f) o g = 1A o g = g. Cum (g' o f) o g = g' o (f o g) = g' o 1B = g' rezulta g = g'. Functia g fiind unica se noteaza cu f -1 si se numeste inversa functiei f.


Teorema 2.3. i) Daca functia f: A B este inversabila, atunci inversa sa

f -1: B A este inversabila si are loc egalitatea (f  -1) -1 = f.

ii) Daca functiile f: A B si g: B C sunt inversabile, atunci si functia

g o f: A C este inversabila si are loc egalitatea

(g o f) -1 = f -1 o g -1 .

Demonstratie. i) Cum avem egalitatile f o f -1 = 1B si f o f -1 = l A rezulta ca si f -1

este inversabila si inversa sa este f, adica (f -1) -1= f .

ii) Calculam

(g o f) o (f -1 o g -1) = g o ((f o f -1) o g -1) = g o (l A o g -1) = gog -1 = l C

si

(f -1o g -1 o (g o f) = f -1 o (g -1 o (g o f)) = f -1 o ((g -1 o g) o f) = f -1 o (1B o f) = f -1 o f = 1A

Aceste    egalitati ne arata ca g o f este inversabila si inversa sa este f -1o g-1, adica (g o f) -1 = f -1 o g -1.


Un rezultat important, foarte util in cele ce urmeaza este urmatorul:


Teorema 2.4. Fie A o multime finita si f: A A o functie. Urmatoarele afirmatii 

sunt echivalente:

1) f este bijectiva;

2) f este injectiva;

3) f este surjectiva.

Demonstratie. 1) T 2) si 1) T 3) sunt evidente.

T 1) Deoarece A este o multime finita, atunci putem scrie ca A = . Cum f este injectiva, atunci f(A) = , unde f(ai) f(aj), oricare ar fi i j. Deci f(A) are n elemente. Cum f(A ) A rezulta neaparat ca A = f(A) si deci f este si surjectiva, adica bijectiva.

T 1) Fie b I A si notam cu f -1(b) = . Evident ca f -1(b) este

o submultime a lui A. Cum f este surjectiva, atunci f -1(B) oricare ar fi bIA. Deoarece A = bIA f -1(b) si multimile f -1(b) sunt disjuncte doua cate doua, rezulta ca f -1(b) are un singur element, deoarece in caz contrar ar rezulta ca bIA f -1(b) ar avea un numar mai mare de elemente decat multimea A. Aceasta ne arata ca f este neaparat o functie injectiva.


Observatii. 1. Daca A nu este finita, teorema 2.4 nu mai este adevarata. De exemplu, sa

luam A = N iar f: N N sa fie functia f(n) = n + l. Se vede ca f este injectiva, dar nu este surjectiva deoarece 0 Im f.

2. Teorema ramane adevarata daca f: A B, unde A, B sunt multimi finite cu acelasi numar de elemente.


Nu se poate descarca referatul
Acest document nu se poate descarca

E posibil sa te intereseze alte documente despre:
referat functi injective, functii referat, o functi este inversabila,

Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate QReferat.com Folositi documentele afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul document pe baza informatiilor de pe site.
{ Home } { Contact } { Termeni si conditii }